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« Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones » : différence entre les versions

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__TOC__
{{Clr}}
== Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones ==
{{Théorème
| contenu =
Si <math>f</math> est une fonction '''continue''' et '''strictement monotone''' sur un intervalle <math>I=[a;,b]</math> alors,
 
alors pour tout réel <math>k</math> tel que : <math>f(a)\leqle k\leqle f(b)</math>,
 
l'équation <math>f(x)=k</math> admet une solution <math>c</math> '''unique''' dans <math>[a;,b]</math>.
}}
 
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
 
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel <math>c</math>\in sur l'intervalle <math>I=[a;b]</math> tel que <math>f(c)=k</math>.
 
L'unicité de ce réel <math>c</math> vient du fait que <math>f</math> est strictement monotone donc [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|injective]]. En effet, si par exemple <math>f</math> est strictement croissante et si <math> a \leq x_1<x_2 \leq b </math> alors <math>f(x_1) < f(x_2)</math> donc <math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>.
Montrons l'unicité de ce réel <math>c</math> sur <math>I=[a;b]</math>.▼
 
On se place dans le cas où la fonction <math>f\ </math> est strictement croissante sur l'intervalle <math>[a;b] .</math>
 
On va supposer l’existence de 2 réels distincts <math>c_1</math> et <math>c_2</math> avec <math>f(c_1) = f(c_2) = k</math> et <math> a \leq c_1 < c_2 \leq b </math>.
 
Comme la fonction <math>f</math> est supposée strictement croissante sur <math>[a;b] </math> alors <math> f(a) \leq f(c_1) < f(c_2) \leq f(b) </math>.
 
Donc <math> f(c_1) \neq f(c_2) </math> , on est en contradiction avec la supposition <math>f(c_1) = f(c_2) </math>.
 
Donc <math>c_1 = c_2 </math> ce qui prouve l'unicité de la solution de l'équation <math>f(c)=k</math> sur l'intervalle <math>I=[a;b]</math>.
}}
 
{{Remarque|contenu=
'''Remarque''' : Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie, ;
cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.
}}
 
== Extensions du théorème à des intervalles ouverts ==
{{Théorème
| contenu =
Si <math>f</math> est une fonction '''continue''' et '''strictement monotone''' sur un intervalle <math>I=]a;,b[</math>, ( <math>a</math> et <math>b</math> pouvant être infinis) alors,
 
alors pour tout réel <math>k</math> tel que : <math>\lim_af<k<\in ]\lim_{x \to a} f(x);\lim_{x \to b} f(x)[lim_bf</math>,
 
l'équation <math>f(x)=k</math> admet une solution <math>c</math> '''unique''' dans <math>]a;,b[</math>
}}
 
 
'''{{Remarque''' : |contenu=
 
* Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de <math>f</math>.
* On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.
}}
 
{{Exemple|titre== Exemple : Étudeétude du signe d'une fonction =|contenu=
Soit ''<math>f''</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>f(x)=\operatorname e^x+x+1</math>.
#Démontrer que <math>f(x)=0</math> admet une solution unique <math>\alpha</math> sur <math>\R</math>.
 
'''1.'''#Déterminer Démontrerun queencadrement <math>f(x)=0</math> admet une solution uniquede <math>\alpha</math> surau <math>\R</math>dixième.
▲Montrons#En l'unicitédéduire le tableau de cesigne réelde <math>cf(x)</math> sur <math>I=[a;b]\R</math>.
 
'''2.''' Déterminer un encadrement de <math>\alpha</math> au dixième.
 
'''3.''' En déduire le tableau de signe de <math>f(x)</math> sur <math>\R</math>.
 
{{Solution
|contenu=
#<math>f'(x)=\operatorname e^x+1>0</math> donc <math>f</math> est strictement croissante. Il existe donc au plus un tel <math>\alpha</math>.<br>Pour montrer qu'il en existe un, on applique le théorème des valeurs intermédiaires : <math>f</math> est continue, <math>\lim_{-\infty}f=-\infty<0</math> et <math>f(0)=2>0</math>.
'''1.''' On a <math>f'(x) = e^{x} + 1 </math>, donc <math>f'(x) > 0 </math> pour tout x appartenant à <math>\R</math>.
'''2.''' On a : #<math> -1.{,}28 < \alpha < -1.{,}27 </math>.▼
 
#<math>\begin{array}{c|ccccc|}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à des intervalles ouverts (ici <math>\R</math>), il existe une unique solution <math>\alpha</math> sur <math>\R</math>
x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\
tel que <math>f(\alpha) = 0 .</math>
\hline
 
f(x)&&-&0&+&&\\
▲'''2.''' On a : <math> -1.28 < \alpha < -1.27 </math>.
\hline
 
\hline
'''3.'''
\end{array}
 
</math>
[[File:Tableau signes.png|thumb|left|800px ]]
}}
}}
 
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