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=== Les formules d'addition ===
[[Fichier:Trigo somme 2 angles.svg|275px|thumb|Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.]]
Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux réels. Dans un repère orthonormé <math>(O;\vec i,\vec j)</math>, posons <math>A</math> et <math>B</math> les points du cercle trigonométrique tels que
:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA}}) = a</math> et <math>(\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}) = b</math>.
Soit encore <math>A'</math> le point du cercle trigonométrique tel que
:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA'}}) = a + \frac\pi2</math>.
Alors :
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration géométrique|contenu=
;'''Construction'''
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
Soient :
Soit un cercle de centre <math>o</math>,de rayon <math>r</math>.<br />
Soit trois point <math>r_{0},r_{1},r_{2}</math> sur le*un cercle telde quecentre <math>\widehat{r_{0}or_{1}} = ao</math>, etde rayon <math>\widehat{r_{1}or_{2}} = br</math><br />;
Soit*trois point <math>h_{1}r_0,r_1,h_{2}r_2</math> lessur projetésle orthogonauxcercle detels que <math>r_\widehat{1},r_{2r_0or_1} = a</math> suret <math>or_\widehat{0r_1or_2} = b</math>.<br />;
Soit *<math>h_{3}h_1,h_2</math> leles projetéprojetés orthogonalorthogonaux de <math>r_{2}r_1,r_2</math> sur <math>or_{1}or_0</math>.<br />;
Soit *<math>xh_3</math> le pointprojeté d'intersectionorthogonal de <math>or_{1}r_2</math>et sur <math>r_{2}h_{2}or_1</math>.<br />;
*<math>x</math> le point d'intersection de <math>or_1</math> et <math>r_2h_2</math>.
On remarque que :
*<math>\frac{oh_2}{ox}=\cos a</math>, <math>\frac{h_2x}{ox}=\sin a</math>, <math>\frac{oh_3}r=\cos b</math>, <math>\frac{h_3r_2}r=\sin b</math> ;
<math>\widehat{oxh_{2}} = \widehat{h_{3}xr_{2}} \rightarrow \widehat{xr_{2}h_{3}} = a</math>.
*<math>\widehat{oxh_2} = \widehat{h_3xr_2} \Rightarrow \widehat{xr_2h_3} = a\Rightarrow\frac{h_3x}{h_3r_2}=\tan a</math> et <math>\frac{h_3r_2}{xr_2}=\cos a</math> ;
;Par définition
Dans *<math>h_\frac{1ox}or_r=\frac{1oh_3-h_3x}</math>, <math>oh_r=\frac{1oh_3}=r-\timesfrac{h_3x}{h_3r_2}\frac{h_3r_2}r=\cos b-\tan a\sin b</math><br />.
Dans <math>h_{2}or_{2}</math>, <math>oh_{2}=r\times\cos(a+b)</math><br />
Dans <math>h_{3}or_{2}</math>, <math>oh_{3}=r\times\cos b</math> et <math>r_{2}h_{3}=r\times\sin b</math><br />
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math>, <math>\frac{r_{2}h_{3}}{r_{2}x}=cos a
\Rightarrow r_{2}x = \frac{r_{2}h_{3}}{\cos a}
\Rightarrow r_{2}x = r\times\frac{\sin b}{\cos a }</math> <br />
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math>, <math>\frac{xh_{3}}{r_{2}x}=sin a
\Rightarrow xh_{3} = r_{2}x\times\sin a
\Rightarrow xh_{3} = r\times\frac{\sin a \times\sin b}{\cos a }
</math> <br />
On remarque que <math>ox = oh_{3} - xh_{3} \Rightarrow ox = r \times (\cos b - \frac{sin a \times sin b}{\cos a})</math>
;cos(a+b)
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb]]
D'après le [[Triangles et parallèles/Théorème de Thalès|théorème de Thalès]] dans le triangle <math>h_1or_1</math> :
<math>\frac{oh_1}{oh_2}=\frac{or_1}{ox}</math>.
Avec les définitions données ci-dessus, on obtient :
'''cos(''a + b'')'''
<math>\begin{align}\frac{r\times\cos a}{r\times\cos(a+b)}=\frac r{ox}&\Rightarrow\cos(a+b)=\frac{\cos a\times ox}r\\&\Rightarrow\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{align}</math>
:<math>\begin{align}\cos(a+b)&=\frac{oh_2}r\\
&=\frac{ox\cos a}r\\
&=(\cos b-\tan a\sin b)\cos a\\
&=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{align}</math>
;'''sin(''a + b'')'''
:<math>\begin{align}\sin(a+b)&=\frac{h_2r_2}r\\
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
&=\frac{h_2x+xr_2}r\\
Dans <math>h_{2}ox </math>, <math> \sin a = \frac{xh_{2}}{ox} \Rightarrow xh_{2} = ox \times \sin a </math><br/>
&=\frac{ox}r\sin a+\frac{xr_2}{h_3r_2}\frac{h_3r_2}r\\
Dans <math>h_{2}or_{2}</math>, <math> \sin(a+b) = \frac{h_{2}r_{2}}{r} \Rightarrow r \times \sin(a+b) = r_{2}x + xh_{2} </math><br />
&=(\cos b-\tan a\sin b)\sin a+\frac1{\cos a}\sin b\\
Avec les définition données ci-dessus on obtient : <br />
<math>r &=\timescos \sin(a+b) = ox \times \sin a + r\times\frac{\sin( b)}{\cos a}(a1-\sin^2a)}</math><br />\\
<math>\Rightarrow r \times \sin(a+b) &= r \times (\cos b - \frac{sin a+ \times sin b}{\cos a}) .\times \sin a + r\times\fracend{\sin(b)}{\cos(a)align}</math><br />
<math>\Rightarrow r \times \sin(a+b) = r \times (\sin a \times \cos b - \frac{sin^2 a \times sin b}{\cos a}) + r\times\frac{\sin(b)}{\cos(a)}</math><br />
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b + \frac{\sin(b)}{\cos(a)}\times (1-\sin^2a) </math><br />
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b + \sin b \times \cos a </math><br />
}}
Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :
:<math>\displaystyle \cos (a+b) + \cos (a-b) = 2\cos a \cos b</math>
donc
:<math>\cos a \cos b = \frac{\cos (a+b) + \cos (a-b)}2</math>
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