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« Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables » : différence entre les versions

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|- align="center"
! width="10%" style="background:#CCCCCC"| ''α''
| width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{6}pi6</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{4}pi4</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{3}pi3</math>
| width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\textstyle\frac{\pi}{2}</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{2\pi}{3}</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{3\pi}{4}</math>
| width="10%" | <math>\textstyle\frac{5\pi}{6}</math>
| width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle\pi</math>
|- align="center"
! style="background:#CCCCCC" | sin ''α''
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
| <math>\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| <math>\textstylefrac1\frac{\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 1</math>
| <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| <math>\textstylefrac1\frac{\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
|- align="center"
! style="background:#CCCCCC; border-bottom: 3px solid grey" | cos ''α''
| style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle 1</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstylefrac1\frac{\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle 0</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{frac1\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -1</math>
|- align="center"
! style="background:#CCCCCC" | ''α''
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6}pi6</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4}pi4</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3}pi3</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2}pi2</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3}</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4}</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6}</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\pi</math>
|- align="center"
! style="background:#CCCCCC" | sin ''α''
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{frac1\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -1</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{frac1\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
|- align="center"
! style="background:#CCCCCC" | cos ''α''
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 1</math>
| <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| <math>\textstylefrac1\frac{\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}frac12</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{frac1\sqrt{2}}{2}sqrt2</math>
| <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}sqrt32</math>
| style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -1</math>
|}
</div>
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Remarquons tout de suite qu’il suffit d’établir ces résultats pour les angles <math>0</math>, <math>\textstyle\frac{\pi}{2}pi2</math>, <math>\textstyle\frac{\pi}{3}pi3</math>, <math>\textstyle\frac{\pi}{4}pi4</math> et <math>\textstyle\frac{\pi}{6}pi6</math> ; par symétries d'axes <math>x'x</math> et/ou <math>y'y</math> sur le cercle trigonométrique, les autres données viennent trivialement. De plus, nous pouvons aussi réduire l'étude aux seuls cosinus de ces angles pour ensuite en déduire leur sinus par la symétrie d'axe <math>\scriptstyle\Delta\;:\;y=x</math>.
 
=={{formule|1=cos(0) = 1}}, {{formule|1=cos(π/2) = 0}}==
* Si <math>\alpha = 0</math>, le point <math>M</math> associé a pour abscisse <math>1</math> et pour ordonnée <math>0</math> sur le repère <math>\scriptstyle (O;\vec{ i},\vec{ j})</math>. De la définition du cosinus, nous pouvons affirmer que :<math>\cos 0 = 1</math>.
<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\cos 0 = 1.</math></div>▼
*De façon analogue, on trouve aisément que :<math>\cos\frac\pi2=0</math>.
<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\cos \frac{\pi}{2} = 0.</math></div>
 
=={{formule|cos(π/4)}} = 1/<small><math>\sqrt2</math></small>==
* [[Fichier:Trigo_angle45.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 45°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{4}</math>, le triangle <math>OS_2M</math> est rectangle en <math>S_2</math>. La somme des angles d’un triangle valant <math>\scriptstyle\pi</math>, l'angle <math>\scriptstyle\widehat{OMS_2}</math> vaut :▼
* [[Fichier:Trigo_angle30Trigo_angle45.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 3045°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{6}</math>, le théorème de Pythagore nous dit :▼
<div style="text-align: center;"><math>\begin{align}
▲* [[Fichier:Trigo_angle45.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 45°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{4}pi4</math>, le triangle <math>OS_2M</math> est rectangle en <math>S_2</math>. La somme des angles d’un triangle valant <math>\scriptstyle\pi</math>, l'angle <math>\scriptstyle\widehat{OMS_2}</math> vaut :
\widehat{OMS_2} &= \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \\▼
▲<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\cos 0 = 1.</math></div>
&= \frac{\pi}{4}
▲\widehat{OMS_2} &= \pi - \frac{\pi}{2} pi2- \frac{\pi}{4}pi4= \frac\pi4
\end{align}
</math></div>
donc <math>OS_2M</math> est aussi isocèle en <math>S_2</math>.
Ligne 101 ⟶ 100 :
<div style="text-align: center;"><math>2OS_2^2 = 1</math></div>
et finalement :
<div style="text-align: center;"><math>\begin{align} OS_2 &= \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \cos \frac{\pi}{4} &pi4=OS_2= \frac{1}{sqrt\sqrt{2}} frac12= \frac{\sqrt{2}}{2}. frac1\end{align}sqrt2</math>.</div>
 
=={{formule|1=cos(π/3) = 1/2}}==
* [[Fichier:Trigo_angle60.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 60°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{3}</math>, alors le triangle <math>IOM</math> est isocèle en <math>O</math> (<math>OM = OI = 1</math>). Les angles <math>\scriptstyle\widehat{OMI}</math> et <math>\scriptstyle\widehat{MIO}</math> sont égaux. Comme tout à l’heure, en sachant que la somme des angles d’un triangle vaut <math>\scriptstyle\pi</math>, nous pouvons écrire :▼
[[Fichier:Trigo_angle60.svg|thumb|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 60°.]]
▲* [[Fichier:Trigo_angle60.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 60°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{3}pi3</math>, alors le triangle <math>IOM</math> est isocèle en <math>O</math> (<math>OM = OI = 1</math>). Les angles <math>\scriptstyle\widehat{OMI}</math> et <math>\scriptstyle\widehat{MIO}</math> sont égaux. Comme tout à l’heure, en sachant que la somme des angles d’un triangle vaut <math>\scriptstyle\pi</math>, nous pouvons écrire :
<div style="text-align: center;"><math>\begin{align}
\widehat{IOM} + \widehat{OMI} + \widehat{MIO} &= \pi \\
\frac{\pi}{3} + 2\widehat{OMI} &= \pi \\
2\widehat{OMI} &= \frac{2\pi}{3} \\
\widehat{OMI} &= \frac{\pi}{3}pi3.
\end{align}</math></div>
On a : <math>\scriptstyle\widehat{IOM} = \widehat{OMI} = \widehat{MIO} = \textstyle\frac{\pi}{3}pi3</math>. Le triangle <math>IOM</math> est équilatéral, la médiane et la médiatrice issues de chaque sommet sont donc confondues. La médiatrice issue de <math>M</math> coupe <math>[OI]</math> en son milieu qui se trouve être <math>S_2</math>. Alors :
<div style="text-align: center;"><math>OS_2 = \cos\frac{\pi}{3} pi3=OS_2= \frac{1}{2}.frac12</math>.</div>
 
=={{formule|cos(π/6)}} = <small><math>\sqrt3</math></small>/2==
▲* [[Fichier:Trigo_angle30.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 30°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{6}</math>, le théorème de Pythagore nous dit :
[[Fichier:Trigo_angle30.svg|thumb|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 30°.]]
<div style="text-align: center;"><math>OS_2^2 + S_2M^2 = OM^2.</math></div>
Si <math>\alpha=\frac\pi6</math>, le théorème de Pythagore nous dit :
Par la symétrie d'axe <math>\scriptstyle\Delta : y=x</math>, comme <math>\textstyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math> alors <math>\textstyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}</math> et donc <math>\scriptstyle S_2M = \textstyle \frac{1}{2}</math>. Ainsi :▼
<div style="text-align: center;"><math>\cosOS_2^2 \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} = 1OM^2-S_2M^2 </math>.</div>
▲Par la symétrie d'axe <math>\scriptstyle\Delta : y=x</math>, comme <math>\textstyle \cos \frac{\pi}{3} pi3= \frac{1}{2}frac12</math> alors <math>\textstyle \sin \frac{\pi}{6} pi6= \frac{1}{2}frac12</math> et donc <math>\scriptstyle S_2M = \textstyle \frac{1}{2}frac12</math>. Ainsi :
soit :
<div style="text-align: center;"><math>\cos^2 \frac{\pi}{6} pi6= 1-\frac{3}{4}frac14=\frac34</math></div>
d'où :
<div style="text-align: center;"><math>\cos \frac{\pi}{6} pi6= \sqrt{\frac{3}{4}} frac34= \frac{\sqrt{3}}{2}.sqrt32</math>.</div>
 
En résumé :
<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\begin{matrix} \cos 0 = 1 & \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} & \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} & \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} & \cos \frac{\pi}{2} = 0 \end{matrix}\ .</math></div>▼
 
Les symétries d'axes <math>\scriptstyle\Delta\;:\;y=x</math>, <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math> ainsi que la rotation d'angle <math>\scriptstyle\pi</math> permettent de retrouver toutes les valeurs du tableau.▼
 
==Résumé==
▲<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\begin{matrix} \cos 0 = 1 & ,\quad\cos \frac{\pi}{3} pi3= \frac{1}{2} & frac12,\quad\cos \frac{\pi}{4} pi4= \frac{frac1\sqrt{2}}{2} & sqrt2,\quad\cos \frac{\pi}{6} pi6= \frac{\sqrt{3}}{2} & sqrt32,\quad\cos \frac{\pi}{2} pi2= 0 \end{matrix}\ .</math></div>
▲Leset les symétries d'axes <math>\scriptstyle\Delta\;:\;y=x</math>, <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math> ainsi que la rotation d'angle <math>\scriptstyle\pi</math> permettent ded'en retrouverdéduire toutes les valeurs du tableau.
 
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