« Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
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! width="10%" style="background:#CCCCCC"| ''α''
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! style="background:#CCCCCC; border-bottom: 3px solid grey" | cos ''α''
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|}
</div>
Ligne 81 :
Remarquons tout de suite qu’il suffit d’établir ces résultats pour les angles <math>0</math>, <math>
=={{formule|1=cos(0) = 1}}, {{formule|1=cos(π/2) = 0}}==
*
<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\cos 0 = 1.</math></div>▼
*De façon analogue, on trouve aisément que
=={{formule|cos(π/4)}} = 1/<small><math>\sqrt2</math></small>==
* [[Fichier:Trigo_angle45.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 45°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{4}</math>, le triangle <math>OS_2M</math> est rectangle en <math>S_2</math>. La somme des angles d’un triangle valant <math>\scriptstyle\pi</math>, l'angle <math>\scriptstyle\widehat{OMS_2}</math> vaut :▼
▲
\widehat{OMS_2} &= \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \\▼
</math></div>
donc <math>OS_2M</math> est aussi isocèle en <math>S_2</math>.
Ligne 101 ⟶ 100 :
<div style="text-align: center;"><math>2OS_2^2 = 1</math></div>
et finalement :
<div style="text-align: center;"><math>
=={{formule|1=cos(π/3) = 1/2}}==
* [[Fichier:Trigo_angle60.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 60°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{3}</math>, alors le triangle <math>IOM</math> est isocèle en <math>O</math> (<math>OM = OI = 1</math>). Les angles <math>\scriptstyle\widehat{OMI}</math> et <math>\scriptstyle\widehat{MIO}</math> sont égaux. Comme tout à l’heure, en sachant que la somme des angles d’un triangle vaut <math>\scriptstyle\pi</math>, nous pouvons écrire :▼
[[Fichier:Trigo_angle60.svg|thumb|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 60°.]]
▲
<div style="text-align: center;"><math>\begin{align}
\widehat{IOM} + \widehat{OMI} + \widehat{MIO} &= \pi \\
\frac{\pi}{3} + 2\widehat{OMI} &= \pi \\
2\widehat{OMI} &= \frac{2\pi}
\widehat{OMI} &= \frac
\end{align}</math></div>
On a : <math>
<div style="text-align: center;"><math>
=={{formule|cos(π/6)}} = <small><math>\sqrt3</math></small>/2==
▲* [[Fichier:Trigo_angle30.svg|thumb|275px|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 30°.]] Si <math>\scriptstyle\alpha = \textstyle\frac{\pi}{6}</math>, le théorème de Pythagore nous dit :
[[Fichier:Trigo_angle30.svg|thumb|Triangle <math>OS_2M</math> pour un angle <math>\alpha</math> de 30°.]]
Si <math>\alpha=\frac\pi6</math>, le théorème de Pythagore nous dit :
Par la symétrie d'axe <math>\scriptstyle\Delta : y=x</math>, comme <math>\textstyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math> alors <math>\textstyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}</math> et donc <math>\scriptstyle S_2M = \textstyle \frac{1}{2}</math>. Ainsi :▼
<div style="text-align: center;"><math>
▲Par la symétrie d'axe <math>
<div style="text-align: center;"><math>\cos^2
d'où :
<div style="text-align: center;"><math>\cos
<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\begin{matrix} \cos 0 = 1 & \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} & \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} & \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} & \cos \frac{\pi}{2} = 0 \end{matrix}\ .</math></div>▼
Les symétries d'axes <math>\scriptstyle\Delta\;:\;y=x</math>, <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math> ainsi que la rotation d'angle <math>\scriptstyle\pi</math> permettent de retrouver toutes les valeurs du tableau.▼
==Résumé==
▲<div style="text-align: center;"><math>
▲
{{Bas de page
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