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| niveau = 12
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== Rappel du théorème de Pythagore ==
[[Fichier:Triangle quelconque.svg|400pxupright=1.5|right|thumb|Triangle quelconque.]]
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans cet exemple, <math>c^2 = lh^2+hl^2\;</math> et <math>a^2= mh^2 + hm^2\;</math>.
== Très brefs rappels en trigonométrie ==
De plus, il convient de rappeler l'une des propriétés des sinus et des cosinus, valable dans le triangle rectangle :
<math>\sin\alpha = \frac{h}{c}\;</math> et <math>\cos\alpha = \frac{l}{c}</math>. ▼
À partir de cela, la somme des carrés des sinus et cosinus d’un même angle est égal à 1.
<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{h}{c}\right)^2 + \left(\frac{l}{c}\right)^2 = \frac{h^2}{c^2} + \frac{l^2}{c^2} = \frac{h^2 + l^2}{c^2}= \frac{c^2}{c^2} = 1</math>
== Le théorème de Pythagore généralisé ==
;DansNous un premier temps il convientutiliserons de définirplus les deux égalités suivantes : ▼* <math> \cos\alphab = \frac{l }{c} + m \Rightarrow lm = c\cos\alphab - l</math> ;▼▲* <math>\ sincos\alpha = \frac {h}{c} lc\ ;</math>Rightarrow etl= <math>c\cos\alpha = \frac{l}{c}</math>.
;Nous arrivons donc auxau résultatsrésultat suivantssuivant : ▼▲;Dans un premier temps il convient de définir les égalités suivantes :
:<math>\begin{align}a^2&=h^2+m^2\\
&=h^2+(b-l)^2\\
* <math>\sin\alpha = \frac{h}{c} \Rightarrow h= c\sin\alpha</math>
&=h^2+l^2+b^2-2bl\\
▲* <math>\cos\alpha = \frac{l}{c} \Rightarrow l= c\cos\alpha</math>
* <math>b = l + m \Rightarrow b&= c\,\cos\alpha ^2+ m \Rightarrow m = b ^2- c2bc\cos\alpha.\end{align}</math>
▲;Nous arrivons donc aux résultats suivants :
* <math>h^2+m^2 = a^2 </math>
* <math>c^2\,\sin^2\alpha + ( b - c\cos\alpha)^2= a^2</math>
* <math>c^2\,\sin^2\alpha + b^2 - 2bc\,\cos\alpha + c^2\cos^2\alpha = a^2</math>
* <math>c^2\,\sin^2\alpha + c^2\,\cos^2\alpha + b^2 - 2bc\cos\alpha = a^2</math>
* <math>c^2\,(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc\cos\alpha = a^2</math>
* <math>c^2 + b^2 - 2bc\cos\alpha = a^2</math>
{{Théorème
| titre = Théorème d'[[w:Al-Kashi |Al-Kashi]]
| contenu = {{Attention|(attention, cette appellation est uniquement française et est inconnue dans les autres pays)}}{{Wikipédia|Loi des cosinus}}<br/><math>a^2 = c^2 + b^2 - 2bc\cos\alpha</math>.}}
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