« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions
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=== Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simples ===
'''1.''' On exprime qu'une suite <math>\left(u_n\right)_{n \in
:<math>\forall \epsilon > 0
Exprimer la propriété contraire.
'''2.''' Soit <math>P</math> un polynôme non nul et <math>a \in
: '''2.1.''' Définir la multiplicité de <math>a</math> pour <math>P</math>.
: '''2.2.''' Caractériser la multiplicité de <math>a</math> pour <math>P</math> à l'aide des polynômes dérivés de <math>P</math>.
{{Solution|contenu=
'''1.''' <math>\exists \epsilon > 0\ \forall p \in\N\ \exists n \in\N\ \left(n < p \lor \left| u_n - l \right| < \epsilon \right)</math>.
'''2.'''
: '''2.1.''' On dit que <math>\alpha</math> est une racine de <math>P</math> multiplicité <math>{\displaystyle n\in\N}</math> si <math>{\displaystyle (X-\alpha )^n}</math> divise <math>{\displaystyle P}</math> mais <math>{\displaystyle (X-\alpha)^{n+1}}</math> ne divise pas <math> {\displaystyle P}</math>.
: '''2.2.''' On dit que <math>\alpha</math> est une racine de <math>P</math> multiplicité <math>{\displaystyle n\in\N}</math> si, et seulement si, <math>P(\alpha) = P^\prime (\alpha) = \dots = P^{(n-1)} (\alpha) = 0</math> et <math>P^{(n)} \neq 0</math>.
}}
=== Exercice 1 : décomposition en éléments simples ===
Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples
{{Solution|contenu=
'''1.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^2+z+1}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>F\left(z\right) = T + \frac a{z-1} + \frac b{(z-1)^2} + \frac c{z-2}</math>.
:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.
:On a ensuite <math>F(z) (z-1)^2 (z-2) = \frac{a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b (z-1)^2 (z-2)}{(z-1)^2} + \frac{c (z-1)^2 (z-2)}{z-2}</math> soit <math>z^2+z+1 = a(z-1)(z-2) + b(z-2) + c(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=2</math> on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math> on trouve que <math>b = -3</math>.
:Avec <math>c = 7</math> et <math>b = -3</math> dans l’équation, on trouve que <math>a=-6</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = - \frac6{z-1} - \frac3{(z-1)^2} + \frac7{z-2}</math>.
'''2.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>F\left(z\right) = T + \frac a{z-1} + \frac b{z-2}</math>.
:On pose <math>P=z^3</math> et <math>Q=\left(z-1\right)\left(z-2\right)</math>.
:On remarque que <math>\deg (P) > \deg(Q)</math>.
:En effectuant la divsion euclidienne <math>\frac PQ</math>, on obtient le quotient <math>z+3</math>.
:Donc <math>T=z+3</math>.
:On a <math>F\left(z\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right) = T\left(z-1\right)\left(z-2\right) + \frac{a\left(z-1\right)\left(z-2\right)}{z-1} + \frac{b\left(z-1\right)\left(z-2\right)}{z-2}</math>, soit <math>z^3 = T(z-1)(z-2) + a(z-2) + b(z-1)</math>.
:En posant <math>z = 2</math> on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:D’où <math>F\left(z\right)=z + 3 - \frac{1}{z-1} + \frac{8}{z-2}</math>.
'''3.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>F\left(z\right) = T + \frac a{z-1} + \frac b{(z-1)^2} + \frac c{z-2} + \frac d{(z-2)^2}</math>.
:On pose <math>P=z^5+3z+2</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2</math>.
:On remarque que <math>\deg (P) > \deg(Q)</math>.
:En effectuant la divsion euclidienne <math>\frac PQ</math>, on obtient le quotient <math>z+6</math>.
:Donc <math>T=z+6</math>.
:On a <math>F\left(z\right)\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2 = T\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2 + \frac{a\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{z-1} + \frac{b\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{(z-1)^2} + \frac{c\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{z-2} + \frac{d\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{(z-2)^2}</math>, soit <math>z^5+3z+2=a(z-1)(z-2)^2 + b(z-2)^2 + c(z-1)^2(z-2) + d(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=1</math> on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math> on obtient <math>d=40</math>.
:On obtient alors
::<math>z^5+3z+2=a(z-1)(z-2)^2 + 6(z-2)^2 + c(z-1)^2(z-2) + 40(z-1)^2</math> soit
::<math>23z^3-66z^2+71z-22=z^3\left(a+c\right)+z^2\left(46-4a-5c\right)+z\left(5a+8c-104\right)+\left(64-2a-4c\right)</math>.
:On obtient alors le système d’équations suivant
::<math>\begin{bmatrix}64-2c-4a=-22\\ 5c+8a-104=71\\ 46-4c-5a=-66\\ c+a=23\end{bmatrix}</math>.
:On le résout et l'on trouve que <math>a=20</math> et <math>c=3</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = z + 6 + \frac{20}{z-1} + \frac6{(z-1)^2} + \frac3{z-2} + \frac{40}{(z-2)^2}</math>.
}}
=== Exercice 2 : sommes ===
Calculer, pour <math>n \in
{{Solution|contenu=
}}
=== Exercice 3 : systèmes linéaires ===
On considère le système linéaire <math>\left(S\right)</math> suivant.
:<math>\begin{cases} x - my + m^2 z = 2m \\ mx - m^2y + mz = 2m \\ mx + y - m^3z = 1-m \end{cases}</math>
#Déterminer les valeurs de paramètre <math>m</math> pour lesquelles le système <math>\left(S\right)</math> est de Cramer.
=== Exercice 4 : dénombrement et vocabulaire ensembliste ===
On cherche les applications <math>f :
:<math>\forall x \in
'''1.''' On note <math>\varphi</math> l'application suivante :
::<math>\varphi ~ : \begin{align}
: '''1.1.''' Montrer que <math>\varphi</math> induit une bijection de l'ensemble <math>\
:::<math>\psi ~ : \begin{align}\
: '''1.2.''' Déterminer les applications <math>\psi \circ \psi</math> et <math>\psi^{-1}</math>.
{{Solution|contenu=
}}
=== Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci ===
On définit la suite de
:<math>F_0=0, \quad F_1=1 \quad et \quad \forall n \geq 0, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.</math>
'''1.''' Calculer <math>F_n</math> pour <math>0 \leq n \leq 15</math>.
'''2.''' Soit <math>
:<math>A_n=\sum_{k=0}^
On pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques.
Ligne 73 ⟶ 123 :
'''3.'''
:'''3.1''' Établir que l'on a :
::<math>\forall p \in
:'''3.2''' En déduire une expression des nombres <math>F_{2n-1}</math> et <math>F_{2n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math>, <math>F_{n+1}</math> uniquement.
'''4.''' Pour <math>n \in
L'objet de la question est de prouver que les nombres <math>E_n</math> sont des termes de la suite de
:'''4.1''' Calculer <math>E_n</math> pour <math>1 \leq n \leq 5</math>. <br/> Que conjecture-t-on ?
:'''4.2''' À l'aide de la question précédente, établir une expression de <math>F_{3n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>
{{Solution|contenu=
}}
=== Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommes ===
Ligne 92 ⟶ 144 :
'''2. ''' Calculer <math>S\left(n,0\right)</math>, <math>S\left(n,1\right)</math> et <math>S\left(n,n\right)</math>.
'''3. ''' Lorsque <math>p=2</math>, quelles sont les applications non surjectives de <math>E</math> dans <math>F</math> ?
'''4. ''' En s'inspirant de la question précédente, montrer que <math>S\left(n,3\right) = 3^n - 3 - 3S\left(n,2\right)</math>.
'''5. ''' On revient au cas général.<br/> Pour <math>k \in [\![ 0,p ]\!]</math>, on pose
:::<math>A_k = \left\{f \in F^E \mid \textrm{card}\left(f\left(E\right)\right)=k\right\}
:'''5.1 ''' Justifier que l'on a
::'''5.1.1. ''' <math>\textrm{card}\left(A_k\right)=\binom
::'''5.1.2. ''' <math>p^n = \sum_{k=0}^
:'''5.2. ''' En déduire la formule suivante.
:::<math>S\left(n,p\right)=\sum_{k=0}^
{{Solution|contenu=
}}
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