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=== Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci ===
On définit la suite de Fibonacci <math>\left(F_n\right)_{n \in\N}</math> par
:<math>F_0=0, \quad F_1=1 \quad \text{et }\quad \forall n \geq 0, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.</math>
 
'''1.''' Calculer <math>F_n</math> pour <math>0 \leqle n \leq 15le9</math>.
 
'''2.''' Soit <math>n\in\N</math>. Calculer les sommes suivantes :
:'''2.1''' <math>A_n=\sum_{0\le k<n}F_{2k+1},\quad B_n=\sum_{0\le k<n}F_{2k}</math> (on pourra pour cela transformer ces sommes en des [[Sommation/Définition et premiers calculs#Sommation par télescopage|sommes télescopiques]]) ;
:<math>A_n=\sum_{k=0}^nF_k , \quad B_n = \sum_{k=0}^nF_k^2 , \quad C_n=\sum_{k=0}^{n-1} F_{2k+1} , \quad D_n=\sum_{k=0}^nF_{2k}</math>.
:'''2.2''' <math>C_n=\sum_{0\le k<n}F_k</math> ;
 
:'''2.3''' <math>D_n=\sum_{k=0}^nF_k^2</math>.
On pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques.
 
'''3.'''
:'''3.1''' Établir que l'on a :
::<math>\forall p \in\N\ \forall n \in\N^*\quad F_{p+n}=F_{p+1}F_n+ F_pF_{n-1}</math>.
:'''3.2''' En déduire une expression des nombres <math>F_{2n-+1}</math> et <math>F_{2n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math>, <math>F_{n+1}</math> uniquement.
 
:'''3.2''' En déduire une expression des nombres <math>F_{2n-1}</math> et <math>F_{2n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math>, <math>F_{n+1}</math> uniquement.
 
'''4.''' Pour <math>n \in\N^*</math>, on pose <math>E_n=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3</math>.
 
L'objet de la question est de prouver que les nombres <math>E_n</math> sont des termes de la suite de Fibonacci.
:'''4.1''' Calculer <math>E_n</math> pour <math>1 \leq n \leq 5</math>. <br/> Que conjecture-t-on ?
:'''4.2''' À l'aide de la question précédente, établir une expression de <math>F_{3n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math>, <math>F_{2n}</math> et <math>F_{2n+1}</math>, puis en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math> et <math>F_{n+1}</math>.<br>Conclure.
{{Solution|contenu=
'''1.''' et '''3.1''' : voir [[Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 3]], qui explique de plus comment étendre la suite aux indices négatifs. Par exemple : <math>F_{-1}=1</math>, de manière à avoir <math>F_{-1}+F_0=F_1</math>.
 
'''2.'''
:'''4.1''' Calculer <math>E_n</math> pour <math>1 \leq n \leq 5</math>. <br/> Que conjecture-t-on ?
:'''2.1''' <math>A_n=\sum_{0\le k<n}(F_{2k+2}-F_{2k})=F_{2n}-F_0=F_{2n}</math> et <math>B_n=\sum_{0\le k<n}(F_{2k+1}-F_{2k-1})=F_{2n-1}-F_{-1}=F_{2n-1}-1</math>.
:'''2.2''' On en déduit que <math>C_n=F_{n+1}-1</math> car :
:*si <math>n=2m</math> alors <math>C_n=B_m+A_m=(F_{2m-1}-1)+F_{2m}=F_{2m+1}-1</math> ;
:*si <math>n=2m+1</math> alors <math>C_n=B_{m+1}+A_m=(F_{2m+1}-1)+F_{2m}=F_{2m+2}-1</math>.
:'''2.3''' <math>D_n=F_nF_{n+1}</math>, par récurrence simple.
'''3.2''' <math>F_{2n+1}=F_{n+(n+1)}=F_{n+1}^2+F_n^2</math> et <math>F_{2n}=F_{n+n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})</math>.
 
'''4.'''
:'''4.2''' À l'aide de la question précédente, établir une expression de <math>F_{3n}</math> en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math>, <math>F_{2n}</math> et <math>F_{2n+1}</math>, puis en fonction de <math>F_{n-1}</math>, <math>F_n</math> et <math>F_{n+1}</math>.<br>Conclure.
:'''4.1''' Pour <math>1\le n\le3</math>, <math>E_n=F_{3n}</math>.
{{Solution|contenu=
:'''4.2'''
::<math>\begin{align}F_{3n}&=F_{2n+n}=F_{2n+1}F_n+F_{2n}F_{n-1}\\
&=F_n(F_{n+1}^2+F_n^2+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^2)\\
&=F_n^3+(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^2)\\
&=F_n^3+F_{n+1}^3-F_{n-1}^3=E_n.\end{align}</math>
}}