« Repère euclidien non orthonormé/Introduction » : différence entre les versions
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À la fin de la leçon « [[Droites et plans de l'espace]] », nous avons supposé que le 3-espace était euclidien et que le repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k</math>) était orthonormé, ce qui a simplifié certains problèmes.
Toutefois, il se peut que cette simplification
Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général.
▲Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général. <br />
Prenons un exemple :
Soit <math>\vec{v} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}</math> un vecteur de coordonnées <math>(x_1, x_2, x_3)</math> dans un espace euclidien de dimension 3 (3-espace euclidien) rapporté à une base orthonormée <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})</math>. On peut alors écrire
<div style="text-align: center;"> <math>\vec{v} = x_1 \cdot \vec{e_1} + x_2 \cdot \vec{e_2} + x_3 \cdot \vec{e_3} = \sum_{i=1}^3x_i \cdot \vec{e_i}</math></div>
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Cette formule simple n’est valable que dans les bases orthonormées et il faut bien faire attention de ne pas l’utiliser dans une base qui n’est pas orthonormée
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