« Repère euclidien non orthonormé/Introduction » : différence entre les versions

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À la fin de la leçon « [[Droites et plans de l'espace]] », nous avons supposé que le 3-espace était euclidien et que le repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k</math>) était orthonormé, ce qui a simplifié certains problèmes.
Nous avons achevé notre caractérisation de l'espace, lors de la [[Droites_et_plans_de_l'espace/Orthogonalité_vectorielle_dans_l'espace|leçon précédente]], chapitre 4, par une équivalence entre un 3-espace euclidien orthogonal muni d'une mesure unitaire unique sur les trois axes : (''O'', <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>) et un 3-espace vectoriel muni d'une base orthonormée : (<math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>).
On a l’habitude de simplifier les problèmes en utilisant cette équivalence.
 
Toutefois, il se peut que cette simplification nousvous empêche de prendre conscience de certains mécanismes particuliers et l’onque apprendvous appreniez des formules par cœur sans vraiment les comprendre. Certains étudiants peuvent être rebutés par l’analyse vectorielle car ils n’ont pas une véritable conscience de certain processus. La compréhension profonde des lois régissant tous les phénomènes facilite leur mémorisation et il ne faut pas rechigner à passer du temps à essayer de mieux comprendre certaincertains théorèmethéorèmes pour pouvoir par la suite mieux les mémoriser et pouvoir aborder des notions plus profondes.
 
Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général. <br />
 
Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général. <br />
Prenons un exemple :
 
Soit <math>\vec{v} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}</math> un vecteur de coordonnées <math>(x_1, x_2, x_3)</math> dans un espace euclidien de dimension 3 (3-espace euclidien) rapporté à une base orthonormée <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})</math>. On peut alors écrire :<br />
 
<div style="text-align: center;"> <math>\vec{v} = x_1 \cdot \vec{e_1} + x_2 \cdot \vec{e_2} + x_3 \cdot \vec{e_3} = \sum_{i=1}^3x_i \cdot \vec{e_i}</math></div>
 
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Cette formule simple n’est valable que dans les bases orthonormées et il faut bien faire attention de ne pas l’utiliser dans une base qui n’est pas orthonormée. (Dudu moins si l’on n’a pas étudié les chapitres suivants).
 
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