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Version du 23 juillet 2007 à 17:02
Rappel sur les relations
Définition
Soient n ensembles, D 1 , D 2 , . . . , D n {\displaystyle D_{1},D_{2},...,D_{n}\,} .
Une relation R {\displaystyle R\,} sur ces ensembles est un sous-ensemble du produit cartésien D 1 × D 2 × . . . × D n {\displaystyle D_{1}\times D_{2}\times ...\times D_{n}} .
Chaque élément de R {\displaystyle R\,} est un n-uplet < d 1 , d 2 , . . . , d n > {\displaystyle <d_{1},d_{2},...,d_{n}>\,} , tel que:
d i ∈ D i {\displaystyle d_{i}\in D_{i}} (avec i ∈ N n × {\displaystyle i\in \mathbb {N} _{n}^{\times }} )
Si ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} , on écrit x R y {\displaystyle xRy\,} , et on dit que x {\displaystyle x\,} et y {\displaystyle y\,} sont en relation par R {\displaystyle R\,} .
Une relation est :
réflexive si ∀ x ∈ E , x R x {\displaystyle \forall x\in E,xRx}
symétrique si ( ∀ x , y ∈ E , x R y ) ⇒ ( y R x ) , {\displaystyle (\forall x,y\in E,xRy)\Rightarrow (yRx),}
transitive si ( ∀ x , y , z ∈ E , ( x R y ∧ y R z ) ) ⇒ ( x R z ) . {\displaystyle (\forall x,y,z\in E,(xRy\,\wedge \,yRz))\Rightarrow (xRz).}
antisymétrique si ( ∀ x , y ∈ E , ( x R y ∧ y R x ) ) ⇒ ( x = y ) . {\displaystyle (\forall x,y\in E,(xRy\,\wedge \,yRx))\Rightarrow (x=y).}