« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

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| idfaculté = mathématiques

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Cette formule est très importante en analyse complexe.

Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe.

Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si <math>\gamma</math> est un chemin qui "entoure" (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point <math>z_0</math> dans <math>\Omega</math>, <math>\,\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z_0} \mathrm du</math> donne la valeur de la fonction <math>f</math> en <math>z_0</math>.

 

Le théorème suivant donne des informations sur f et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : <math>\,D(f(z))=\frac{1}{2i\pi}D{\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z} \mathrm du} =\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} D{\frac{f(u)}{u-z}} \mathrm du</math>.On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.

{{Théorème

</math>

}}

Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci.

{{Théorème