« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions
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== L'exponentielle complexe
Avant de définir le logarithme complexe, définissons l'exponentielle complexe.
Ligne 27 :
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans <math>\C</math> comme un logarithme dans <math>\R</math>
== Fonctions hyperboliques
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\C</math> :
Ligne 37 :
<math>\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}=\frac{\sinh(iz)}{i}</math>
== Propriétés de l'exponentielle complexe
<math>\forall\; z,w\in \C</math> <br />
Ligne 45 :
# <math>\ |\exp(z)|=\exp(\mathfrak{Re}(z))</math><br />
== La fonction « argument » : Arg
Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo <math>2\pi</math> et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.
Ligne 65 :
On appelle cette fonction '''détermination principale de l'argument'''.
== Le logarithme complexe
{{Définition
| titre = Définition du logarithme complexe
| contenu ={{Wikipédia|Logarithme complexe}}
On définit sur <math>\Omega=\C
la fonction <math>Ln</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
<math>Ln : \Omega \rightarrow \C</math>
<math>Ln(z)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right)
où <math>\ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.
}}
Alors, <math>Ln</math> est holomorphe sur <math>\Omega
{{Propriété |titre=Propriétés|contenu=
Ligne 86 :
# <math>e^{Ln(z)}=z</math>,
# <math>Ln(e^z)=z+2i\pi\Z</math> pour peu que <math>e^z \in \Omega</math>.
#<math>Ln(1+z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}
{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle#Exercice 2|Série entière du logarithme]]
}}
}}
==== Dérivées partielles du logarithme complexe
On note <math>z=x+yi</math>, pour <math>z \in \C</math>, on a :
Ligne 106 ⟶ 108 :
Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(Ln(z))=\frac{\mathrm D_x(Ln(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.
=== Puissance généralisée
{{Définition
| titre = Puissance généralisée (<math>z^\alpha</math>)
| contenu =
Soit <math>\alpha \in \C</math> et <math>z \in
}}
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