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« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

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== L'exponentielle complexe ==
Avant de définir le logarithme complexe, définissonsrappelons la définition de l'exponentielle complexe par une [[série entière]] de rayon de convergence infini.
 
{{Définition
| titre = Définition de l'exponentielle complexe
| contenu =
L'exponentielle complexe est définie et holomorphe sur <math>\C</math> par :
:<math>\forall z\in\C\quad\exp(z)=\operatorname e^z=\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{z^{m}}{m!}} \; ,z\in\mathbb {C}</math>▼
 
et holomorphe sur <math>\C</math>.
▲<math>\exp(z)=e^z=\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{z^{m}}{m!}} \; ,z\in\mathbb {C}</math>
 
}}
Cette définition est analogue à celle de l'exponentielle réelle par séries de Taylor.
 
{{Attention|Avec_fond=non|Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans <math>\C</math> puisque <math>\forall k\in\Z\quad\operatorname e^z=\operatorname e^{z+2ki2k\pi}\;mathrm ki\in \Zpi}</math>.}}▼
Nous verrons plus loin pourquoi il est licite de développer et de définir l'exponentielle complexe en séries de puissances, puisque le rayon de convergence de cette série est infini.
 
▲{{Attention|Avec_fond=non|Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans <math>\C</math> puisque <math>e^z=e^{z+2ki\pi}\; k\in \Z</math>}}
 
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans <math>\C</math> comme un logarithme dans <math>\R</math>
 
== Fonctions hyperboliques ==
 
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\C</math> :
 
<math>ch(z)=\cosh( z)=\frac{\operatorname e^z+\operatorname e^{-z}}{2,\quad\cos z=\frac{\operatorname e^{z\mathrm i}+\operatorname e^{-z\mathrm i}}2=\cosh(\mathrm iz)</math>
<math>\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2}=\cosh(iz)</math>
 
<math>\sinh z=\frac{\operatorname e^z-\operatorname e^{-z}}2,\quad\sin z=\frac{\operatorname e^{z\mathrm i}-\operatorname e^{-z\mathrm i}}{2\mathrm i}=\frac{\sinh(\mathrm iz)}{\mathrm i}</math>
<math>sh(z)=\sinh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2}</math>
<math>\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}=\frac{\sinh(iz)}{i}</math>
 
== Propriétés de l'exponentielle complexe ==
 
<math>\forall\; z,w\in \C</math> <br />:
# *<math>\ |\exp(z+w)|=\exp(z)\mathfrak{Re}exp(z)w)</math><br />;▼
 
# *<math>\forall n \in \Z\; \exp(z+w)^n=\exp(znz)\exp(w) \;</math><br />;
# *<math>\forall n \in \Z\; |\exp(z)^n|=\exp(nz\operatorname{Re}(z))</math><br />.
▲# <math>\ |\exp(z)|=\exp(\mathfrak{Re}(z))</math><br />
 
== La fonction « argument » : Arg ==
Ligne 53 ⟶ 44 :
| titre = Définition de la fonction argument
| contenu =
<math>\forall \; z=x+\mathrm iy\; \in \C\backslash x setminus\in]R_-\infty,0]</math> on a :
:<math>\operatorname{Arg}(x +\mathrm iy) =
 
\begin{cases}
 
* <math>\mathrm{Arg}arctan(z)=\arctan{\frac{ y}{ x}}) &\;text{si\; }x > 0</math>, \\
* <math>\mathrm{Arg}arctan(z)=\arctan{\frac{ y}{ x}}) + \pi &\;text{si \;}x < 0\text{ \;et\; }y>0</math>, \\
* <math>\mathrm{Arg}arctan(z)=\arctan{\frac{ y}{ x}}) - \pi &\;text{si \;}x <0 0\;text{ et\; }y < 0</math>, \\
+\frac{\pi}2&\text{si }x = 0\text{ et }y > 0, \\
-\frac{\pi}2&\text{si }x = 0\text{ et }y < 0.
\end{cases}</math>
}}
 
On constate que cette fonction Arg(''z'') n’est pas prolongeable continument aux <math>x z\in\left]-\infty,0]\right[</math>, car si elle était définie sur <math>\C \backslash setminus\{0\}</math>, on aurait un saut de <math>2\pi</math> et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
 
On appelle cette fonction '''détermination principale de l'argument'''.
Ligne 70 ⟶ 64 :
| contenu ={{Wikipédia|Logarithme complexe}}
On définit sur <math>\Omega=\C\setminus\R_-</math>
la fonction <math>Ln\mathrm{Log}</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
 
<math>Ln \mathrm{Log}: \Omega \rightarrow to\C,\quad z\mapsto\ln(|z|)+\mathrm i \,\operatorname{Arg}\left(z\right)</math>
<math>Ln(z)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right)</math>
 
où <math>\ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.
}}
 
Alors, <math>Ln\mathrm{Log}</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math>.
 
{{Propriété |titre=Propriétés|contenu=
 
Pour tout <math>z\in\Omega</math>, on a :
# <math>(Ln)\,operatorname{Log}'(z)=\frac{1}{z}frac1z</math>,
# <math>\operatorname e^{Ln\operatorname{Log}(z)}=z</math>,
# <math>Ln\operatorname{Log}(\operatorname e^z)=z+2i2\mathrm i\pi\Z</math> pour peudès que <math>\operatorname e^z \in \Omega</math>.
#<math>Ln\operatorname{Log}(1+z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}nz^n</math> si <math>|z|\le1</math> et <math>z\ne-1</math>.
{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle#Exercice 2|Série entière du logarithme]]
}}
Ligne 92 ⟶ 85 :
==== Dérivées partielles du logarithme complexe ====
 
On note <math>z=x+yiy\mathrm i</math>, pour <math>z \in \COmega</math>, on a :
 
: *<math>\mathrm D_x(Ln\operatorname{Log}(z))=\mathrm D_x(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+\mathrm i \mathrm D_x(\mathrmoperatorname{Arg}(x+yiy\mathrm i))=\frac{ x}{x^2+y^2}+\mathrm i \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}</math> ;
*<math>\mathrm D_y(Ln\operatorname{Log}(z))=\mathrm D_y(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+\mathrm i \mathrm D_y(\mathrmoperatorname{Arg}(x+yiy\mathrm i))=\frac{y}{x^2+y^2}+\mathrm i \frac{ x}{x^2+y^2}=\frac{y+xix\mathrm i}{x^2+y^2}</math>.▼
 
Ainsi <math>Ln\operatorname{Log}</math> est holomorphe, puisque : ▼
▲<math>\mathrm D_y(Ln(z))=\mathrm D_y(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_y(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{y}{x^2+y^2}+i \frac{x}{x^2+y^2}=\frac{y+xi}{x^2+y^2}</math>
 
<math>\mathrm D_x(Ln\operatorname{Log}(z))+\mathrm i \mathrm D_y(Ln\operatorname{Log}(z))=\frac{x-yiy\mathrm i}{x^2+y^2}+i\frac{y+xix\mathrm i}{x^2+y^2}=0</math>.▼
▲Ainsi <math>Ln</math> est holomorphe, puisque :
 
La dérivée de <math>Ln\operatorname{Log}</math> se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées : ▼
▲<math>\mathrm D_x(Ln(z))+i \mathrm D_y(Ln(z))=\frac{x-yi}{x^2+y^2}+i\frac{y+xi}{x^2+y^2}=0</math>.
:<math>\mathrm D_x(Ln\operatorname{Log}(z))= \mathrm D_z(Ln\operatorname{Log}(z))\mathrm D_x(z)</math>.,▼
 
ce qui donne :
▲La dérivée de <math>Ln</math> se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :
Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(Ln\operatorname{Log}(z))=\frac{\mathrm D_x(Ln\operatorname{Log}(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yiy\mathrm i}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}frac1z</math>.▼
 
▲<math>\mathrm D_x(Ln(z))= \mathrm D_z(Ln(z))\mathrm D_x(z)</math>.
 
▲Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(Ln(z))=\frac{\mathrm D_x(Ln(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.
 
=== Puissance généralisée ===
Ligne 113 ⟶ 104 :
| titre = Puissance généralisée (<math>z^\alpha</math>)
| contenu =
Soit <math>\alpha \in \C</math> et <math>z \in\C\setminus\R_-</math>, on appelle '''puissance généralisée''' (ou '''détermination/branche principale''') de <math>z^\alpha</math> la fonction définie par : <math>z^\alpha=\exp(\alpha\, Lnoperatorname{Log}(z))</math>
}}
 
 
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