« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions
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→Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées : rectif (suffit pas que le cercle soit dans l'ouvert) + complément (limite de fonctions holo) |
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== Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées ==
Le théorème suivant donne des informations sur <math>f</math> et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : <math>
{{Théorème
| titre=Représentation intégrale de <math>f</math> et de ses dérivées|contenu=
Soit
*pour tout disque fermé <math>\bar D(z,r)\subset\Omega</math>, de bord le cercle <math>\gamma_r</math>, on a :
*:<math>f^{(m)}(z)=\frac{
}}
{{Corollaire|titre=Corollaire : suite convergente de fonctions holomorphes|contenu=
Si une suite <math>(f_n)_n</math> de fonctions holomorphes converge vers une fonction <math>f</math>, [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|uniformément]] sur tout compact d'un ouvert <math>\Omega\subset\C</math>, alors <math>f</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math> et pour tout <math>m\in\N</math>, la suite <math>(f_n^{(m)})_n</math> des dérivées converge vers <math>f^{(m)}</math>, uniformément sur tout compact de <math>\Omega</math>.
▲# <math>D^{m}(f)</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math> pour tout <math>m \in \N ,m\leq n</math>
▲\frac{n!}{2i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} \mathrm du=D^{n}(f(z))
}}
== Inégalité de Cauchy ==
Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci.
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