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« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

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→‎Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées : rectif (suffit pas que le cercle soit dans l'ouvert) + complément (limite de fonctions holo)
même rectif : suffit pas que le cercle soit dans l'ouvert, il faut le disque !
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{{Théorème
| titre=Formule intégrale de Cauchy |contenu={{Wikipédia|Formule intégrale de Cauchy}}
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert <math>\Omega\subset\C</math> et soit un disque fermé <math>\bar D(z_0,r)\subset\Omega</math>, de bord le cercle <math>\gamma_r=r\operatorname e^{\mathrm it}+z_0,\;t \in [0,2\pi]</math>. Alors, pour tout <math>z\in\Omega\setminus\gamma_r</math> :
 
:<math>▼
Soit ''ƒ'' une fonction holomorphe sur <math>\Omega</math> et soit <math>z_0 \in \Omega</math>.
\fracfrac1{1}{2i2\mathrm i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{u-z} \mathrm du =\begin{cases} ▼
 
Soit <math>r>0</math> tel que le chemin <math>\gamma_r=re^{it}+z_0\;, t \in [0,2\pi]</math> soit à valeurs dans <math>\Omega</math> (il suffit par exemple, que <math>r</math> soit strictement inférieur à la distance qui sépare <math>z_0</math> du bord de l'ouvert <math>\Omega</math>), alors:
 
▲<math>
▲\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{u-z} \mathrm du =\begin{cases}
f(z) & \mbox{si } |z-z_0|<r \\
0 & \mbox{si } |z-z_0|>r \end{cases}</math>
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}}
 
Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si <math>\gamma</math> est un chemin qui "« entoure" » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point <math>z_0</math> dans <math>\Omega</math>, <math>\,frac1{2\frac{1}{2imathrm i\pi}\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z_0} \mathrm du</math> donne la valeur de la fonction <math>f</math> en <math>z_0</math>.
 
== Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées ==
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{{Théorème
|titre=Inégalité de Cauchy|contenu=
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe dans un disque <math>D(z_{0},R)</math> alors <math>\forall n \in \N </math> et <math>\forall r=|z-z_0| ,\; r\leq R </math> on a :
 
Soit ''ƒ'' une fonction holomorphe dans un disque :<math>D\left|\frac{f^{n}(z_{0},R)</math> alors <math>}{n!}\forallright|\leq \; frac{M(r)}{r^n \in \N }</math> etavec <math>\forall \;M(r)=|z-\sup_{D(z_{0}| ,\; r\leq R)} |f(z)|</math> on a : <br />​.
<math>\frac{D^{n}f(z_{0})}{n!} \leq \frac{M(r)}{r^{n}}</math> avec <math>M(r)=sup_{D(z_{0},R)} |f(z)|</math>
}}
 
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