« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta » : différence entre les versions

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→‎Exercice 1 : Style (pas besoin de couper l'intégrale en 2 ni d'utiliser l'holomorphie de exp) mais j'ai dû me tromper qq part
Ligne 12 :
vérifie
:<math>\zeta(s,q)\operatorname\Gamma(s)=\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}\operatorname e^{-tq}}{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt</math>
et ([[Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5]]) que <math>\frac1\Gamma</math> s'étend en une [[Fonctions d'une variable complexe../../Développement en séries entières#Théorème de Taylor|fonction entière]].
 
En déduire que la fonction <math>s\mapsto\zeta(s,q)-\frac1{s-1}</math> s'étend en une fonction entière.
 
Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de <math>t\mapsto\frac t{1-\operatorname e^{-t}}</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac t{1-\operatorname e^{-t}}=\sum_{n=0}^Nc_nt^n+t^{N+1}f_N(t)</math>.
La fonction <math>t\mapsto\frac t{1-\operatorname e^{-t}}</math> est holomorphe en 0 et sa série de Taylor en ce point, <math>\sum_{n=0}^\infty c_nt^n</math>, a pour rayon de convergence <math>d(0,2\mathrm i\pi\Z^*)=2\pi</math>. Le coefficient <math>c_0</math> est égal à 1 et nous n'aurons pas besoin de la valeur des suivants (qui sont en fait <math>c_n=\frac{(-1)^n\mathrm B_n}{n!}</math> où les <math>\mathrm B_n</math> sont les [[w:Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]]).
 
Coupons l'intégrale en deux en un point inférieur à <math>2\pi</math>, par exemple en 1 :
:<math>g:\zeta(s,q)\mapstooperatorname\int_1Gamma(s)=\int_0^{\infty}\fracsum_{tn=0}^Nc_nt^{n+s-12}\operatorname e^{-tq}\,\mathrm dt+\int_0^{\infty}t^{1N+s-1}\operatorname e^{-t}tq}f_N(t)\,\mathrm dt</math>.
:<math>\zeta(s,q)=\frac{f(s)+g(s)}{\Gamma(s)}</math> et la fonction
{{Wikipédia|Transformation de Mellin}}
:<math>g:s\mapsto\int_1^\infty\frac{t^{s-1}\operatorname e^{-tq}}{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt</math>
<math>f_N</math> est continue sur <math>\R_+</math> et <math>t\mapsto\operatorname e^{-tq}f_N(t)</math> est à décroissance rapide, donc la seconde intégrale est holomorphe sur le demi-plan <math>\operatorname{Re}(s)>-N</math>.
est clairement entière. Montrons qu'il en est de même pour <math>s\mapsto\frac{f(s)}{\Gamma(s)}-\frac1{s-1}</math>, où
 
:<math>f(s)=\int_0^1t^{s-2}\operatorname e^{-tq}\frac t{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt=\int_0^1t^{s-2}\operatorname e^{-tq}\sum_{n=0}^Nc_nt^n\,\mathrm dt+h_N(s)=\int_0^\infty t^{s-2}\operatorname e^{-tq}\sum_{n=0}^Nc_nt^n\,\mathrm dt+k_N(s)</math>
La première se calcule en intégrant terme à terme, ce qui donne :
avec <math>h_N</math> et <math>k_N</math> holomorphes sur le demi-plan <math>\operatorname{Re}(s)>-N</math> (<math>N</math> choisi aussi grand qu'on veut). On intègre terme à terme :
:<math>f(s)-k_N\begin{align}\zeta(s,q)&=\sum_{n=0}^Nc_n\int_0^\infty t^frac{\operatorname\Gamma(n+s-21)}\operatorname e{q^{n+s-tq1}\,operatorname\mathrm dt=\sum_{n=0Gamma(s)}^Nc_n+\fracfrac1{\operatorname\Gamma(n+s-1)}\int_0^{q\infty}t^{nN+s-1}\operatorname e^{-tq}</math>f_N(t)\,\mathrm dt\\
:<math>&=\frac{f(s)-k_N(s)c_0}{\Gamma(s-1)}=\frac1{q^{s-1}\operatorname\Gamma(s-1)}+\fracsum_{c_1n=1}{q^s}+Nc_n\frac{c_2s}{q^{s+1}}+\dots+\frac{c_N(Nn+s-2)(Nn+s-3)\dots s}{q^{n+s-1}}+\frac1{\operatorname\Gamma(s)}\int_0^{\infty}t^{N+s-1}\operatorname e^{-tq}f_N(t)\,\mathrm dt.\end{align}</math>.
donc la fonction
:<math>s\mapsto\zeta(s,q)-\frac{c_0}{(s-1)1^{s-1}\operatorname\Gamma(1)}=\zeta(s,q)-\frac1{s-1}</math>
avecs'étend <math>h_N</math>en etune <math>k_N</math>fonction holomorphesholomorphe sur le demi-plan <math>\operatorname{Re}(s)>-N</math> (et <math>N</math> est choisi aussi grand qu'on veut). On intègre terme à terme :
 
Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de <math>\zeta(-k,q)</math> pour tout entier <math>-k<0</math>, pôle de <math>\mathrm\Gamma</math>, sachant que <math>c_n=\frac{(-1)^n\mathrm B_n}{n!}</math> où les <math>\mathrm B_n</math> sont les [[w:Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]]<!-- :
:<math>\zeta(-k,q)=\sum_{n=1}^{k+1}c_n\frac{(n-k-2)(n-k-3)\dots(-k)}{q^{n-k-1}}=-k!\sum_{n=1}^{k+1}(-1)^nc_n\frac{q^{k+1-n}}{(k+1-n)!}=-\frac1{k+1}\sum_{n=1}^{k+1}\binom{k+1}n\mathrm B_nq^{k+1-n}=-\frac1{k+1}(B_{k+1}(q)-q^{k+1})</math>-->.
}}