« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : Style (pas besoin de couper l'intégrale en 2 ni d'utiliser l'holomorphie de exp) mais j'ai dû me tromper qq part |
||
Ligne 12 :
vérifie
:<math>\zeta(s,q)\operatorname\Gamma(s)=\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}\operatorname e^{-tq}}{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt</math>
et ([[Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5]]) que <math>\frac1\Gamma</math> s'étend en une [[
En déduire que la fonction <math>s\mapsto\zeta(s,q)-\frac1{s-1}</math> s'étend en une fonction entière.
Indication : utiliser l'existence d'un développement de Taylor à tout ordre en 0 de <math>t\mapsto\frac t{1-\operatorname e^{-t}}</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac t{1-\operatorname e^{-t}}=\sum_{n=0}^Nc_nt^n+t^{N+1}f_N(t)</math>.
:<math>
{{Wikipédia|Transformation de Mellin}}
▲:<math>g:s\mapsto\int_1^\infty\frac{t^{s-1}\operatorname e^{-tq}}{1-\operatorname e^{-t}}\,\mathrm dt</math>
<math>f_N</math> est continue sur <math>\R_+</math> et <math>t\mapsto\operatorname e^{-tq}f_N(t)</math> est à décroissance rapide, donc la seconde intégrale est holomorphe sur le demi-plan <math>\operatorname{Re}(s)>-N</math>.
La première se calcule en intégrant terme à terme, ce qui donne :
avec <math>h_N</math> et <math>k_N</math> holomorphes sur le demi-plan <math>\operatorname{Re}(s)>-N</math> (<math>N</math> choisi aussi grand qu'on veut). On intègre terme à terme :▼
:<math>
donc la fonction
:<math>s\mapsto\zeta(s,q)-\frac{c_0}{(s-1)1^{s-1}\operatorname\Gamma(1)}=\zeta(s,q)-\frac1{s-1}</math>
▲
Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de <math>\zeta(-k,q)</math> pour tout entier <math>-k<0</math>, pôle de <math>\mathrm\Gamma</math>, sachant que <math>c_n=\frac{(-1)^n\mathrm B_n}{n!}</math> où les <math>\mathrm B_n</math> sont les [[w:Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]]<!-- :
:<math>\zeta(-k,q)=\sum_{n=1}^{k+1}c_n\frac{(n-k-2)(n-k-3)\dots(-k)}{q^{n-k-1}}=-k!\sum_{n=1}^{k+1}(-1)^nc_n\frac{q^{k+1-n}}{(k+1-n)!}=-\frac1{k+1}\sum_{n=1}^{k+1}\binom{k+1}n\mathrm B_nq^{k+1-n}=-\frac1{k+1}(B_{k+1}(q)-q^{k+1})</math>-->.
}}
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