« Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières » : différence entre les versions

→‎Théorème de Taylor : +th des zéros isolés
(→‎Théorème de Taylor : complément)
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<div style="text-align: center;"><math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}(z-z_0)^m</math>.</div>
}}
{{Corollaire|titre=Corollaire 1 : fonctions entières|contenu={{Wikipédia|Fonction entière}}
En particulier, siSi <math>f</math> est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur <math>\C</math>, alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.
}}
{{Corollaire|titre=Corollaire 2 : unicité du prolongement analytique|contenu={{Wikipédia|Prolongement analytique}}
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert '''[[Topologie générale/Connexité|connexe]]''' <math>\Omega\subset\C</math>. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
*<math>f</math> est la fonction nulle ;
*il existe un point <math>z_0\in\Omega</math> en lequel <math>f</math> et toutes ses dérivées sont nulles ;
*l'ensemble des zéros de <math>f</math> admet un [[Topologie générale/Adhérence, intérieur|point d'accumulation]] <math>z_0\in\Omega</math>.
}}
 
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