« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions zêta » : différence entre les versions
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Ligne 25 :
La première se calcule en intégrant terme à terme, ce qui donne :
:<math>\begin{align}\zeta(s,q)&=\sum_{n=0}^Nc_n\frac{\operatorname\Gamma(s+n-1)}{q^{s+n-1}\operatorname\Gamma(s)}+\frac1{\operatorname\Gamma(s)}\int_0^{\infty}t^{
&=\frac{c_0}{(s-1)q^{s-1}}+\sum_{n=1}^Nc_n\frac{(s+n-2)(s+n-3)\dots s}{q^{s+n-1}}+\frac1{\operatorname\Gamma(s)}\int_0^{\infty}t^{
donc la fonction
:<math>s\mapsto\zeta(s,q)-\frac{c_0}{(s-1)1^{s-1}}=\zeta(s,q)-\frac1{s-1}</math>
Ligne 33 :
Remarquons de plus qu'on peut calculer la valeur de <math>\zeta(-k,q)</math> pour tout entier <math>-k<0</math>, pôle de <math>\mathrm\Gamma</math>, sachant que <math>c_n=\frac{(-1)^n\mathrm B_n}{n!}</math> où les <math>\mathrm B_n</math> sont les [[w:Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] :
:<math>\begin{align}\zeta(-k,q)&=\frac{c_0}{(-k-1)q^{-k-1}}+\sum_{n=1}^{k+1}c_n\frac{(-k+n-2)(-k+n-3)\dots(-k)}{q^{-k+n-1}}\\
&=\sum_{n=0}^{k+1}c_n\frac{(-1)^{n
&=-\frac1{k+1}\sum_{n=0}^{k+1}\binom{k+1}n\mathrm B_nq^{k+1-n}\\
&=-\frac{\mathrm B_{k+1}(q)}{k+1},\end{align}</math>
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