« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Correction Balises : Modification par mobile Modification par le web mobile |
→Résultant de deux équations : -coquilles + Style |
||
Ligne 574 :
{{Définition
| titre = Définition du résultant de deux équations
| contenu ={{Wikipédia|Résultant}}
Le résultant de deux équations par rapport à une variable ''x'' (ou inconnue ''x'') est une expression minimale qui
*est égale à zéro si et seulement si les deux équations ont une solution commune (dans <math>\C</math>),
*est
ces deux propositions étant équivalentes.
}}
Dans la suite, nous allons donner les principaux résultants entre des équations de degré 1 à 3. Ces résultants nous serviront par la suite à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Commençons par le cas le plus simple :
{{Exemple|contenu=
Soit les deux équations :
:<math> ax + b = 0</math>
:<math> cx + d = 0</math>
avec <math>a\ne0</math>.
*Ces deux équations ont la même racine si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels, c'est-à-dire si :
*:<math>ad=bc</math>, ou encore : <math>ad - bc = 0 </math>.
*D'autre part, si l’on tire <math>x</math> de la première équation et qu’on le remplace dans la seconde, on obtient :
*:<math> c\frac{-b}a+ d = 0</math>, c'est-à-dire <math>ad - bc = 0</math>.
Dans les deux cas, on voit que le résultant R des deux équations est :
:<math> R = ad - bc</math>.
}}
Plus généralement :
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant 1-
| contenu =
:<math>ax+b=0</math>
:<math>
avec <math>a\ne0</math> est :
:<math>R_{1-n}=a_0a^n-a_1a^{n-1}b+a_2a^{n-2}b^2-\dots+(-1)^na_nb^n</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si l’on tire <math>x</math> de la première équation et qu’on le remplace dans la seconde, on obtient :
:<math>a_n\left(\frac{-b}a\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{-b}a\right)^{n-1}+\dots+a_1\frac{-b}a+a_0=0</math>,
c'est-à-dire
:<math>a_0a^n-a_1a^{n-1}b+a_2a^{n-2}b^2-\dots+(-1)^na_nb^n=0</math>.
}}
{{Remarque|contenu=
Lorsque <math>a=0</math> et <math>a_n\ne0</math>, l'expression de <math>R_{1-n}</math> ci-dessus convient encore car dans ce cas :
*<math>R_{1-n}=(-1)^na_nb^n</math> ;
*les solutions de la seconde équation sont aussi solutions de la première si et seulement si <math>b=0</math>.
}}
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant
| contenu =
:<math>px^2+qx+r=0</math>
:<math>
avec <math>p\ne0</math> est :
:<math>R_{2-3}=a_0a_3q^3+2a_1a_3r^2p+2a_0a_2rp^2+a_2a_3r^2q+a_0a_1qp^2+a_1a_2rqp\dots</math>
:<math>\qquad\dots-a_3^2r^3-a_0^2p^3-a_2^2r^2p-a_1^2rp^2-a_1a_3rq^2-a_0a_2q^2p-3a_0a_3rqp</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si
:<math>px^2=-qx-r</math>
alors
:<math>\begin{align}p^2x^3&=px\left(-qx-r\right)\\
&=q\left(qx+r\right)-prx\\
donc
:<math>\begin{align}p^2\left(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\right)&=a_3\left(\left(q^2-pr\right)x+qr\right)-pa_2\left(qx+r\right)+p^2\left(a_1x+a_0\right)\\
&=x\left(a_3\left(q^2-pr\right)-pqa_2+p^2a_1\right)+a_3qr-pra_2r+p^2a_0.\end{align}</math>
Par conséquent, le système
:<math>\begin{cases}px^2+qx+r&=0\\a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0&=0\end{cases}</math>
est équivalent à
:<math>\begin{cases}px^2+qx+r&=0\\ax+b&=0\end{cases}</math>
avec
:<math>a=a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2</math> et <math>b=a_3rq-a_2rp+a_0p^2</math>.
D'après le théorème précédent (appliqué à <math>n=2</math>) et la remarque, les deux équations ont donc une solution commune si et seulement si l'expression suivante est nulle :
:<math>\begin{align}\frac{-ra^2+qab-pb^2}p
&=a\frac{qb-ra}p-b^2\\
&=\left(a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2\right)\left(a_3r^2-a_1rp+a_0qp\right)-\left(a_3rq-a_2rp+a_0p^2\right)^2\\
&=pR_{2-3}\end{align}</math>
où <math>R_{2-3}</math> est l'expression annoncée.
}}
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Lorsque <math>p=0</math> et <math>a_3\ne0</math>, l'expression de <math>R_{2-3}</math> ci-dessus convient encore car dans ce cas :
*::<math>R_{2-3}=a_3\left(a_0q^3-a_1rq^2+a_2r^2q-a_3r^3\right)</math>
*:et l'expression entre parenthèses n'est autre que le cas particulier <math>n=3</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
*Le résultant <math>R_{2-2}</math> de deux équations :
*::<math>
*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-3}</math>, puis en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>R_{2-2}=a_0^2p^2+r^2a_2^2+a_0a_2q^2+rpa_1^2-a_0a_1qp-rqa_1a_2-2a_0a_2rp</math>.
*:Sans surprise, il est symétrique en les coefficients des deux équations.
* De même, le résultant <math>R_{2-1}</math> de deux équations :
*::<math>px^2+qx+r=0</math>
*::<math>a_1x+a_0=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_2</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-2}</math> ci-dessus et en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>R_{2-1}=-ra_1^2+qa_1a_0-pa_0^2</math>.
*:Sans surprise, on retrouve, au signe près (et aux notations près) le cas particulier <math>n=2</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
}}
{{Bas de page
| |||