« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

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Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. Une application immédiate de ce qui précède sera le calcul du discriminant des équations du troisième degré. Nous verrons ensuite ce que l’on appelle le résultant de deux équations. Cette notion étant utile à certaines démonstrations de théorèmes intervenants dans les chapitres suivants.
 
== Définition d’une équation du troisième degré (12) ==
Avant de commencer à manipuler les équations du troisième degré, nous devons bien savoir ce que c'est.
{{Définition
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}}
 
== Une première méthode de résolution par la recherche d'une racine évidente (12) ==
La méthode que nous allons voir dans ce paragraphe ne marche pas dans tous les cas. Mais, quand elle marche, elle marche mieux que les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants.
 
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=== Recherche d'une racine évidente (12) ===
Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer ''x'' par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :
{{Propriété
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=== Factorisation du premier membre (12) ===
Soit l'équation :
 
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Nous verrons dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.
 
== Équations dont les coefficients sont des nombres réels ==
 
Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres réels.
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== Somme et produit de racines ==
 
{{Définition
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<br />
 
== Discriminant d’une équation du troisième degré ==
Pour une équation de degré n, le discriminant peut se définir en fonction des racines x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,... x<sub>n</sub> par la formule :
 
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{{démonstration déroulante
| contenu =
La démonstration de ce théorème est assez longue, mais ne présente pas de difficultés. Nous l'avons donc proposéproposée dans l'exercice 2-2.
}}
 
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<br />
 
== Résultant de deux équations ==
{{Définition
| titre = Définition du résultant de deux équations