« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m Annulation des modifications 732263 de Supreme assis (discussion) tout ça est vrai même pour la fraction irréductible 0/±1
Balise : Annulation
→‎Résultant de deux équations : retour à la version d'avant mes interventions pour R_{3-2}=R_{2-3} (j'avais pris l'opposé à tort) + mise en cohérence du reste
Ligne 575 :
 
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant 2-3-2
| contenu =
Le résultant <math>R_{2-3-2}</math> de deux équations :
:<math>px^2+qx+r=0</math>
:<math>a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
:<math>px^2+qx+r=0</math>
avec <math>p\ne0</math> est :
:<math>R_{2-3-2}=a_0a_3qa_3^2r^3+2a_1a_3ra_0^2p^3+2a_0a_2rpa_2^22r^2p+a_2a_3ra_1^2q2rp^2+a_0a_1qpa_1a_3rq^2+a_1a_2rqpa_0a_2q^2p+3a_0a_3rqp\dots</math>
:<math>\qquad\dots-a_3^2ra_0a_3q^3-a_02a_1a_3r^2p^3-a_22a_0a_2rp^2r^2p2-a_1a_2a_3r^2rp^22q-a_1a_3rqa_0a_1qp^2-a_0a_2q^2p-3a_0a_3rqpa_1a_2rqp</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Ligne 595 :
&=x\left(a_3\left(q^2-pr\right)-pqa_2+p^2a_1\right)+a_3qr-pra_2+p^2a_0.\end{align}</math>
Par conséquent, le système
:<math>\begin{cases}pxa_3x^3+a_2x^2+qxa_1x+ra_0&=0\\a_3x^3+a_2xpx^2+a_1xqx+a_0r&=0\end{cases}</math>
est équivalent à
:<math>\begin{cases}px^2ax+qx+rb&=0\\axpx^2+bqx+r&=0\end{cases}</math>
avec
:<math>a=a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2</math> et <math>b=a_3rq-a_2rp+a_0p^2</math>.
D'après le théorème précédent (appliqué à <math>n=2</math>) et la remarque, les deux équations ont donc une solution commune si et seulement si l'expression suivante est nulle :
:<math>\begin{align}\frac{-ra^2-qab+qab-pb^2}p
&=a\frac{ra-qb-ra}p-+b^2\\
&=\left(a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2\right)\left(-a_3r^2-a_1rp+a_1rp-a_0qp\right)-+\left(a_3rq-a_2rp+a_0p^2\right)^2\\
&=pR_{2-3-2}\end{align}</math>
où <math>R_{2-3-2}</math> est l'expression annoncée.
}}
 
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Lorsque <math>p=0</math> et <math>a_3\ne0</math>, l'expression de <math>R_{2-3-2}</math> ci-dessus convient encore car dans ce cas :
*::<math>R_{2-3-2}=-a_3\left(a_0q^3-a_1rq^2+a_2r^2q-a_3r^3\right)</math>
*:et l'expression entre parenthèses n'est autre que le cas particulier <math>n=3</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
*Le résultant <math>R_{2-2}</math> de deux équations :
*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
*::<math>px^2+qx+r=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{3-2-3}</math>, puis en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-3}</math>, puis en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>R_{2-2}=a_0^2p^2+r^2a_2^2+a_0a_2q^2+rpa_1^2-a_0a_1qp-rqa_1a_2-2a_0a_2rp</math>.
*:Sans surprise, il est symétrique en les coefficients des deux équations.
*:avec <math>p\ne0</math>De s'obtientmême, en remplaçant <math>a_2</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-2}</math> ci-dessus et en divisant par <math>-p</math>, on retrouve (aux notations près) le cas particulier <math>n=2</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu :précédemment.
* De même, le résultant <math>R_{2-1}</math> de deux équations :
*::<math>px^2+qx+r=0</math>
*::<math>a_1x+a_0=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_2</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-2}</math> ci-dessus et en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>R_{2-1}=-ra_1^2+qa_1a_0-pa_0^2</math>.
*:Sans surprise, on retrouve, au signe près (et aux notations près) le cas particulier <math>n=2</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
}}