« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Annulation des modifications 732263 de Supreme assis (discussion) tout ça est vrai même pour la fraction irréductible 0/±1 Balise : Annulation |
→Résultant de deux équations : retour à la version d'avant mes interventions pour R_{3-2}=R_{2-3} (j'avais pris l'opposé à tort) + mise en cohérence du reste |
||
Ligne 575 :
{{Théorème
| titre = Théorème : résultant
| contenu =
Le résultant <math>R_{
:<math>px^2+qx+r=0</math>▼
:<math>a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
▲:<math>px^2+qx+r=0</math>
avec <math>p\ne0</math> est :
:<math>R_{
:<math>\qquad\dots-
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Ligne 595 :
&=x\left(a_3\left(q^2-pr\right)-pqa_2+p^2a_1\right)+a_3qr-pra_2+p^2a_0.\end{align}</math>
Par conséquent, le système
:<math>\begin{cases}
est équivalent à
:<math>\begin{cases}
avec
:<math>a=a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2</math> et <math>b=a_3rq-a_2rp+a_0p^2</math>.
D'après le théorème précédent (appliqué à <math>n=2</math>) et la remarque, les deux équations ont donc une solution commune si et seulement si l'expression suivante est nulle :
:<math>\begin{align}\frac{
&=a\frac{ra-qb
&=\left(a_3q^2-a_3rp-a_2qp+a_1p^2\right)\left(-a_3r^2
&=pR_{
où <math>R_{
}}
{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Lorsque <math>p=0</math> et <math>a_3\ne0</math>, l'expression de <math>R_{
*::<math>R_{
*:et l'expression entre parenthèses n'est autre que le cas particulier <math>n=3</math> du résultant <math>R_{1-n}</math> obtenu précédemment.
*Le résultant <math>R_{2-2}</math> de deux équations :
*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>▼
*::<math>px^2+qx+r=0</math>
*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{3-2
▲*::<math>a_2x^2+a_1x+a_0=0</math>
▲*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_3</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-3}</math>, puis en divisant par <math>-p</math> :
*::<math>R_{2-2}=a_0^2p^2+r^2a_2^2+a_0a_2q^2+rpa_1^2-a_0a_1qp-rqa_1a_2-2a_0a_2rp</math>.
*:Sans surprise, il est symétrique en les coefficients des deux équations.
*
▲*:avec <math>p\ne0</math> s'obtient en remplaçant <math>a_2</math> par <math>0</math> dans l'expression de <math>R_{2-2}</math> ci-dessus et en divisant par <math>-p</math> :
}}
|