« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-3 ==
Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X PXP(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>.
{{Solution|contenu=
Supposons quePuisque <math>a\in\C,\, a\not=0X</math> soit uneest racinepremier deavec <math>PX+4</math>, alorsun polynôme <math>a P(a+1)</math> =est (a+4)solution P(a)si =et seulement si 0<math>P=XQ</math>, doncpour un <math>P(a+1) = 0Q\in\C[X]</math>, ainsitel que <math>aX(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, est une racine dec.-à-d. <math>P(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>.
* Si <math>a \in \C\setminus \N</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>a\N</math>, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de <math>P</math> étant fini.
* Si <math>n\in\N^*</math> est racine de <math>P</math>, on abouti à la même contradiction.
* Si <math>n\in\Z,\, n \leq 0</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>\left\{n, n+1, \ldots, 0\right\}</math>.
 
NotonsDe même, <math>-nQ</math> laest plus petite racinesolution de <math>P</math>,l'équation nécessairementprécédente lessi racineset deseulement si <math>PQ=(X+1)R</math> sontpour exactementun <math>-nR\in\C[X]</math>, tel que <math>-n(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c.-à-d.., <math>0(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>.
 
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\C[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>.
Comme <math>P\in\C[X]</math>, <math>P</math> est scindé, on a alors :
: <math>P = \alpha \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>.
 
L'égalitéLes solutions <math>X P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1) = (X+42) P(X+3)</math> s'écritavec :<math>a\in\C</math>.
: <math>X \prod_{k=0}^{n} (X+1+k) = (X+4) \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>
: <math>(X+1+n) = (X+4)</math>
 
Donc nécessairement <math>n = 3</math>.
 
Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient.
}}
 
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