« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Ligne 9 :
== Exercice 1-1 ==
Trouver tous les polynômes <math>
{{Solution|contenu=
Soit <math>
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors :
*<math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0\quad(1)</math> et <math>P((\lambda-1)^2) = P(\lambda-1)P(\lambda) = 0\quad(2)</math> ;
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ;
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline\mathrm j\}</math>. Mais si <math>\lambda=-\mathrm j</math> alors <math>(\lambda-1)^2=\mathrm j\notin\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline{\mathrm j}\}</math>. Donc (d'après <math>(2)</math>) <math>\lambda\ne-\mathrm j</math>. De même, <math>\lambda\ne-\mathrm j^2</math>.
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.
Soit <math>P=X^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow X^{2p}(X-1)^{2q}=X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow p=q </math>
}}
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