« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

→‎Exercice 1-1 : rectif (cf. pdd) et simplif
(→‎Exercice 1-3 : Simplif)
(→‎Exercice 1-1 : rectif (cf. pdd) et simplif)
 
== Exercice 1-1 ==
Trouver tous les polynômes <math> P \in\C[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>.
 
{{Solution|contenu=
Soit <math>\lambdaP</math> une racinesolution denon <math>P</math>nulle.
On a <math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0</math>.
 
SiRemarquons <math>\left|d'abord \lambdaque \right|son \notincoefficient \{dominant 0,est 1nécessairement \},égal à P<math>1</math>. admet uneCherchons infinitéensuite deses racines.
Donc <math>P</math> est le polynôme nul.
 
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors :
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
*<math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0\quad(1)</math> et <math>P((\lambda-1)^2) = P(\lambda-1)P(\lambda) = 0\quad(2)</math> ;
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ;
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline\mathrm j\}</math>. Mais si <math>\lambda=-\mathrm j</math> alors <math>(\lambda-1)^2=\mathrm j\notin\{0,1,-\mathrm j^2,-\overline{\mathrm j}\}</math>. Donc (d'après <math>(2)</math>) <math>\lambda\ne-\mathrm j</math>. De même, <math>\lambda\ne-\mathrm j^2</math>.
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.
 
Soit <math>P=X^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow X^{2p}(X-1)^{2q}=X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow p=q </math>
 
SiLes solutions sont donc : <math>P(X) =0</math> aou X^{n_1}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_3}<math>P</math>, avecest ade unla scalaire,forme <math>n_1,P(X) n_2= (X^2-X)^n \text{, n_3avec } n \in \N</math>.
 
<math>P(X^2) = a X^{2 n_1}(X^2 -1)^{n_2}(X^2 +1)^{n_3} = a X^{2 n_1}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_2}(X-i)^{n_3}(X+i)^{n_3}</math>
 
<math>P(X)P(X+1) = a^2 X^{n_1 + n_2}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_3 + n_1}(X+2)^{n_3}</math>
 
 
Par identification, on obtient le système :
 
<math>\begin{cases} a = a^2 \\ 2 n_1 = n_1 + n_2 \\ n_2 = n_2 \\ n_2 = n_3 + n_1 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>\begin{cases} a = 1 \text{ ou } 0 \\ n_1 = n_2 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math>
 
 
Donc <math>P</math> est nul ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math>
 
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
 
<math>P(X)P(X+1) = (X^2 - X)^n ((X+1)^2-(X+1))^n = (X^2 - X)^n (X^2+2X+1-X-1)^n = X^{2n} (X^2-1)^n = P(X^2)</math>
}}
 
13 027

modifications