« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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{{Solution|contenu=
Soit <math>P</math> une solution non nulle.
 
Remarquons d'abord que son coefficient dominant est nécessairement égal à <math>1</math>. Cherchons ensuite ses racines.
 
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors :
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ;
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>. Maisdonc siaussi (d'après <math>\lambda=-\mathrm j(1)</math> alors) <math>(\lambda-1)^2=\mathrm j\notinin\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>. Donc (d'après <math>(2)</math>) <math>\lambda\ne-\mathrm j</math>. De même, <math>\lambda\ne-\mathrm j^2</math>.
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>.
 
Soit <math>P=XaX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\C^*</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow XaX^{2p}(X-1)^{2q}=Xa^2X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow a=1\text{ et }p=q </math>.
 
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math>.
}}
 
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