« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

Lorsque <math>\alpha=0</math> etou <math>a_n\ne0</math> est nul, l'expression <math>R_{1-n}:=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>, que nous appellerons dans les exercices «  résultant R{{ind|1-n}}  », n'est pas à proprement parler le résultant des deux polynômes, <math>Q(X)=\alpha X+\beta</math> et <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math> (supposés non nuls) mais est encore, sauf exception, une expression qui s'annule ''si et seulement si'' lesces deux polynômes ont une racine commune. En effet, comme <math>\alpha=0</math> :

*si <math>\alpha\ne0</math> : <math>R_{1-n}=(-1)^na_n\betaalpha^{n-\deg P}\operatorname{Res}(Q,P)</math> ;

En**les revanche,racines lorsquede <math>\alpha=a_n=0P</math>, sont aussi racines de <math>R_{1-n}Q</math> estsi ''toujours''et seulement si <math>\beta=0</math> nul.;