« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Résultant de deux polynômes : complété remarque |
→Résultant de deux polynômes : idem+mep |
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Ligne 406 :
{{Exemple|contenu=
:<math>\operatorname{Res}(\alpha X+\beta,a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0)=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+a_2\alpha^{n-2}\beta-\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>
▲(si <math>\alpha,a_n\ne0</math>).
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soient :
Ligne 419 :
{{Remarque|contenu=
Lorsque <math>\alpha</math> ou <math>a_n</math> est nul, l'expression <math>R_{1-n}:=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>, que nous appellerons dans les exercices « résultant R{{ind|1-n}} », n'est pas à proprement parler le résultant des deux polynômes <math>Q(X)=\alpha X+\beta</math> et <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math> (
*si <math>\alpha\ne0</math> : <math>R_{1-n}=\alpha^{n-\deg P}\operatorname{Res}(Q,P)</math> ;▼
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Si <math>\alpha\ne0</math> :
**si <math>P=0</math>, la racine de <math>Q</math> est racine de <math>P</math> et <math>R_{1-n}=0</math>.
*Si <math>\alpha=0</math> et <math>a_n\ne0</math> et <math>n>0</math> :
**les racines de <math>P</math> sont aussi racines de <math>Q</math> si et seulement si <math>\beta=0</math> ;
**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\beta^n</math> donc <math>R_{1-n}=0\Leftrightarrow\beta=0</math>.
*
**<math>P</math> n'a pas de racine ;
**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\ne0</math>.
}}
}}
Ligne 433 ⟶ 438 :
{{Proposition|contenu=
Si <math>Q(X)=pX^2+qX+r</math> est de degré 2
alors leur résultant — défini par <math>\operatorname{Res}(Q,P)=p^nP(y_1)P(y_2)</math> où <math>y_1,y_2</math> sont les racines de <math>Q</math> — est égal à
:<math>\begin{align}&ap^{n-3}\left[ar^3-br^2q+c(rq^2-2r^2p)+d(3rqp-q^3)\right]\\
&+bp^{n-2}\left[br^2-crq+d(q^2-2rp)\right]\\
Ligne 440 ⟶ 447 :
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
}}
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