|
Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :
{{Théorème
| contenu=
| contenu={{Wikipédia|Théorème fondamental des fonctions symétriques}}
Tout polynôme symétrique en trois indéterminées (à coefficients entiers) peut s'exprimer en fonction (polynomiale et à coefficients entiers) des trois polynômes symétriques élémentaires en ces indéterminées.
}}
{{démonstration déroulante|titre=Preuve partielle
|contenu=
Nous allons seulement démontrer que tout polynôme symétrique est un polynôme ''à coefficients rationnels'' des polynômes symétriques élémentaires. Pour une preuve complète (''à coefficients entiers'') et qui fournit un algorithme plus efficace, il suffit d'adapter à trois indéterminées la preuve pour quatre indéterminées fournie dans la leçon sur l'[[équation du quatrième degré]].
Commençons par poser, pour tout triplet <math>(k,l,m)</math> d'entiers,
:<math>S_{k,l,m}=</math> la somme de tous les monômes de la forme <math>X_r^kX_s^lX_t^m</math> avec <math>\{r,s,t\}=\{1,2,3\}</math>, chaque monôme étant pris une seule fois (même lorsque deux des trois entiers <math>k,l,m</math> sont égaux : par exemple si <math>l=k</math>, le monôme <math>X_1^kX_2^lX_3^m=X_2^kX_1^lX_3^m</math> n'est compté qu'une fois).
Autrement dit, <math>S_{k,l,m}</math> ne dépend pas de l'ordre des trois indices <math>k,l,m</math> et
* <math>S_{0,0,0}=1</math> ;
* si <math>k>0</math> :
** <math>S_{k,0,0}=p_k</math> (la <math>k</math>-ième somme de Newton),
** <math>S_{k,k,0}=X_1^kX_2^k+X_1^kX_3^k+X_2^kX_3^k</math>, ▼** <math> S_{k,k,k} =X_1^kX_2^kX_3^k=\sigma_1^k</math> ; ▼* si <math>k,l>0</math> et <math>k\ne l</math> :
** <math>S_{k,l,0}=X_1^kX_2^l+X_2^kX_1^l+X_1^kX_3^l+X_3^kX_1^l+X_2^kX_3^l+X_3^kX_2^l</math>, ▼** <math>S_{k,k,l}=X_1^kX_2^kX_3^l+X_1^kX_3^kX_2^l+X_2^kX_3^kX_1^l</math>, ▼* si <math>k,l,m>0</math> et distincts :
**<math>S_{k,l,m}=(X_1^kX_2^l+X_2^kX_1^l)X_3^m+(X_1^kX_3^l+X_3^kX_1^l)X_2^m+(X_2^kX_3^l+X_3^kX_2^l)X_1^m</math>.
Pour simplifier l'écriture, nous commencerons par poser :
Tout polynôme symétrique à coefficients entiers s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes ''S<sub>k,l,m</sub>''. Il nous suffit donc de montrer que ces derniers sont des polynômes à coefficients entiers en σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, σ<sub>3</sub>.
▲* * <math> S_{k,k,k}S_k =X_1^ kX_2^kX_3k+X_2^k =\sigma_1+X_3^k</math> ;
▲* * <math> S_{k, k,0l} =X_1^kX_2^ kl+X_2^kX_1^l+X_1^kX_3^ kl+X_3^kX_1^l+X_2^kX_3^ kl+X_3^kX_2^l</math> , ;
▲* * <math> S_{k,l, 0m} = (X_1^kX_2^l+X_2^kX_1^l )X_3^m+ (X_1^kX_3^l+X_3^kX_1^l )X_2^m+ (X_2^kX_3^l+X_3^kX_2^l )X_1^m</math> ,.
Tout polynôme symétrique s'écrit, après développement éventuel, comme combinaison à coefficients rationnels des ''S<sub>k</sub>'', ''S<sub>k,l</sub>'', ''S<sub>k,l,m</sub>''. Par exemple : <math>X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2=\frac12S_{2,2}</math>.
'''Calcul des <math>S_{k,0,0}</math>''' ▼
Il nous suffit donc de montrer que ''S<sub>k</sub>'', ''S<sub>k,l</sub>'', ''S<sub>k,l,m</sub>'' s'expriment en fonction de σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, σ<sub>3</sub>.
<math>S_{0,0,0}=1</math> et pour <math>k>0</math>, <math>S_{k,0,0}=p_k</math>, que l'on calcule grâce à la proposition précédente. ▼
'''Calcul des ''S<mathsub>S_{k,l,0}</math> pour <math>k,l>0</mathsub>''.'''
*Si <math>k\ne l</math>, nous voyons que :
▲<math> S_{0,0,0}S_0= 13</math> et pour <math>k>0</math>, <math> S_{k,0,0}S_k=p_k</math> (la <math>k</math>-ième somme de Newton), que l'on calcule grâce à la proposition précédente.
*::<math>(X_1^k+X_2^k+X_3^k)(X_1^l+X_2^l+X_3^l)=(X_1^{k+l}+X_2^{k+l}+X_3^{k+l})+S_{k,l,0}</math>,
*:que l’on peut écrire : ▼'''Calcul des ''S<sub>k,l</sub>''.'''
▲** :<math> S_{ k,k,l} = (X_1^ kX_2k+X_2^ kX_3k+X_3^k)(X_1^l+ X_1X_2^ kX_3l+X_3^ kX_2l)-(X_1^ {k+l }+X_2^ kX_3^kX_1{k+l}+X_3^ {k+l })</math>,
▲*:que l’on peut écrire :
{{Encadre
| contenu =
Si <math>k,l>0</math> et <math>l\ne k</math>,
:<math> S_{k,l,0} =p_kp_l S_kS_l-p_S_{k+l}</math>.
}}
*Calcul des <math>S_{k,k,0}</math> pour <math>k>0</math> :
{{...}}
▲'''Calcul des ''S< mathsub> S_{k, 0l, 0}m</ mathsub> ''.'''
On montre facilement que :
'''Calcul des <math>S_{k,l,m}</math> pour <math>k,l,m>0</math>'''
{{Encadre
En posant <math>n=\min(k,l,m)</math> :
| contenu =
:<math>S_{k,l,m}=\sigma_3^nS_{k-n,l-n,m-n}</math>,
<math> S_{k,l,m} = S_kS_lS_m-S_{k+l+m}-S_{k+l,m}-S_{k+m,l}-S_{l+m,k}</math>.
et <math>S_{k-n,l-n,m-n}</math> est (après permutation éventuelle des trois indices, ce qui ne change pas sa définition) de la forme <math>S_{u,v,0}</math>.
}}
Pour démontrer cela, il suffit de s'armer de patience et développer le second membre pour constater que l’on tombe bien sur le premier membre.
(Dans le cas particulier où <math>k,l,m</math> sont distincts, on peut utiliser la variante suivante : <math> S_{k,l,m} =p_kp_lp_m-p_{k+l+m}-S_{k+l,m,0}-S_{k+m,l,0}-S_{l+m,k,0}</math>.)
}}
|
