« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Somme et produit de racines : rétabli la preuve (partielle…) de Lydie |
→Résultant de deux polynômes : remords ⇒ compromis |
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ces deux propositions étant équivalentes.
{{Exemple|titre=Premier exemple d'élimination : « résultant R{{ind|1-n}} »|contenu=
Mais pour établir des théorèmes sur cette notion, il est indispensable d'en donner une vraie définition. On peut prendre par exemple celle-ci :▼
:<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0</math>
ont une racine commune dans <math>\C</math> si et seulement si le nombre suivant est nul :
:<math>R_{1-n}:=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+a_2\alpha^{n-2}\beta-\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=▼
*Si <math>\alpha\ne0</math>, on tire <math>x</math> de la première équation et on le remplace dans la seconde ; on obtient :
*::<math>a_n\left(\frac{-\beta}\alpha\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{-\beta}\alpha\right)^{n-1}+\dots+a_1\frac{-\beta}\alpha+a_0=0</math>,
*:c'est-à-dire
*::<math>a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+a_2\alpha^{n-2}\beta-\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>.
**les racines de
**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\beta^n</math> donc <math>R_{1-n}=0\Leftrightarrow\beta=0</math>.▼
*
**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\ne0</math>.▼
L'exception a lieu lorsque <math>\alpha=a_n=0</math> : dans ce cas, <math>R_{1-n}</math> est ''toujours'' nul.▼
}}▼
}}
{{Exemple|titre=Second exemple d'élimination : « résultant R{{ind|2-3}} »|contenu=
Si <math>p\ne0</math> ou <math>a\ne0</math>, les deux équations
:<math>px^2+qx+r=0</math>
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
ont une racine commune dans <math>\C</math> si et seulement si le nombre suivant est nul :
:<math>\begin{align}R_{2-3}&:=a\left[ar^3-bqr^2+c(q^2r-2pr^2)+d(3pqr-q^3)\right]\\
&\qquad+bp\left[br^2-cqr+d(q^2-2pr)\right]+c^2p^2\left[cr-dq\right]+d^2p^3.\end{align}</math>
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si <math>p=0</math> et <math>a\ne0</math>, <math>R_{2-3}</math> se simplifie en <math>-a\left[dq^3-crq^2+brq-ar^3\right]</math>, qui est le produit par une constante non nulle du « résultant R{{ind|1-3}} » des deux équations
:<math>qx+r=0</math>
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
donc l'assertion est démontrée.
Supposons maintenant <math>p\ne0</math>. Toute solution <math>x</math> de la première équation vérifie
:<math>px^2=-qx-r</math>
donc
:<math>\begin{align}p^2x^3&=px\left(-qx-r\right)\\
donc
:<math>\begin{align}p^2\left(ax^3+bx^2+cx+d\right)&=a\left(\left(q^2-pr\right)x+qr\right)-bp\left(qx+r\right)+p^2\left(cx+d\right)\\
&=x\left(a\left(q^2-pr\right)-bpq+cp^2\right)+aqr-bpr+dp^2.\end{align}</math>
Par conséquent, le système
:<math>\begin{cases}px^2+qx+r&=0\\ax^3+bx^2+cx+d&=0\end{cases}</math>
est équivalent à
:<math>\begin{cases}px^2+qx+r&=0\\\alpha x+\beta&=0\end{cases}</math>
avec
:<math>\alpha=aq^2-apr-bpq+cp^2</math> et <math>\beta=aqr-bpr+dp^2</math>.
et les deux équations ont une solution commune si et seulement si leur « résultant R{{ind|1-2}} » est nul. Or ce « résultant » est égal à
:<math>\begin{align}r\alpha^2-q\alpha\beta+p\beta^2&=\alpha(r\alpha-q\beta)+p\beta^2\\
&=-p\left(aq^2-apr-bpq+cp^2\right)\left(ar^2-cpr+dpq\right)+p\left(aqr-bpr+dp^2\right)^2\\
&=p^2R_{2-3}\end{align}</math>
donc il est nul si et seulement si <math>R_{2-3}=0</math>.
}}
}}
▲Mais pour établir des théorèmes sur
{{Définition
| contenu =
Ligne 421 ⟶ 478 :
{{Remarque|contenu=
Lorsque <math>\alpha</math> ou <math>a_n</math> est nul,
▲L'exception a lieu lorsque <math>\alpha=a_n=0</math> : dans ce cas, <math>R_{1-n}</math> est ''toujours'' nul.
▲{{Démonstration déroulante|contenu=
▲*Si <math>\alpha\ne0</math> :
▲**si <math>P\ne0</math>, <math>R_{1-n}=\alpha^{n-\deg P}\operatorname{Res}(Q,P)</math> ;
▲**si <math>P=0</math>, la racine de <math>Q</math> est racine de <math>P</math> et <math>R_{1-n}=0</math>.
▲*Si <math>\alpha=0</math> et <math>a_n\ne0</math> et <math>n>0</math> :
▲**les racines de <math>P</math> sont aussi racines de <math>Q</math> si et seulement si <math>\beta=0</math> ;
▲**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\beta^n</math> donc <math>R_{1-n}=0\Leftrightarrow\beta=0</math>.
▲*Si <math>\alpha=0</math> et <math>a_n\ne0</math> et <math>n=0</math> :
▲**<math>P</math> n'a pas de racine ;
▲**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\ne0</math>.
▲}}
}}
Ligne 443 ⟶ 488 :
alors leur résultant — défini par <math>\operatorname{Res}(Q,P)=p^nP(y_1)P(y_2)</math> où <math>y_1,y_2</math> sont les racines de <math>Q</math> — est égal à
:<math>\begin{align}&ap^{n-3}\left[ar^3-
&\qquad+bp^{n-2}\left[br^2-
▲&+cp^{n-1}\left[cr-dq\right]\\
▲&+p^nd^2.\end{align}</math>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
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