« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

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== Résultant de deux polynômes ==
Cette notion classique est d'un niveau nettement supérieur à celui de cette leçon, et ne sera abordée sérieusement qu'au [[Aide:Niveau de difficulté/Niveau 16#Mathématiques|niveau 16]], dans la leçon « [[Résultant]] ».
 
CesLes résultants nous serviront à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Donnons-en d'abord une « définition » intuitive : le résultant <math>\operatorname{Res}(P,Q)</math> de deux polynômes non nuls <math>P,Q\in\C[X]</math> est une « expression minimale » qui :
*est égale à zéro si et seulement si <math>P</math> et <math>Q</math> ont une racine commune,
*est obtenue en « éliminant <math>x</math> entre les deux équations » <math>P(x)=0</math> et <math>Q(x)=0</math>,
ces deux propositions (informelles) étant équivalentes.
 
Sans pouvoir donner un sens formel à la seconde, donnons-en quelques exemples.
{{Exemple|titre=Premier exemple d'élimination : « résultant R{{ind|1-n}} »|contenu=
Si <math>\alpha\ne0</math> ou <math>a_n\ne0</math>, les deux équations :
Ligne 405 ⟶ 406 :
ont une racine commune si et seulement si le nombre suivant est nul :
:<math>R_{1-n}:=a_0\alpha^n-a_1\alpha^{n-1}\beta+a_2\alpha^{n-2}\beta-\dots+(-1)^na_n\beta^n</math>.
L'exception a lieu lorsque <math>\alpha=a_n=0</math> : dans ce cas, <math>R_{1-n}</math> est ''toujours'' nul.
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Si <math>\alpha\ne0</math>, on tire <math>x</math> de la première équation et on le remplace dans la seconde ; on obtient :
Ligne 416 ⟶ 418 :
**la seconde équation n'a pas de racine ;
**<math>R_{1-n}=(-1)^na_n\ne0</math>.
L'exception a lieu lorsque <math>\alpha=a_n=0</math> : dans ce cas, <math>R_{1-n}</math> est ''toujours'' nul.
}}
}}
Ligne 426 ⟶ 427 :
ont une racine commune (éventuellement complexe) si et seulement si le nombre suivant est nul :
:<math>\begin{align}R_{2-3}&:=a\left[ar^3-bqr^2+c(q^2r-2pr^2)+d(3pqr-q^3)\right]\\
&\qquad+bp\left[br^2-cqr+d(q^2-2pr)\right]+c^2pcp^2\left[cr-dq\right]+d^2p^3.\end{align}</math>
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si <math>p=0</math> et <math>a\ne0</math>, <math>R_{2-3}</math> se simplifie en <math>-a\left[dq^3-crq^2+brq-ar^3\right]</math>, qui est le produit par une constante non nulle du « résultant R{{ind|1-3}} » des deux équations
Ligne 454 ⟶ 455 :
donc il est nul si et seulement si <math>R_{2-3}=0</math>.
}}
En particulier, si <math>p\ne0</math> (ou <math>b\ne0</math>), les deux équations
:<math>px^2+qx+r=0</math>
:<math>bx^2+cx+d=0</math>
ont une racine commune si et seulement si le nombre suivant est nul :
:<math>R_{2-2}:=b^2r^2+p^2d^2+bdq^2+prc^2-bcqr-pqcd-2bdpr</math>.
}}
 
MaisContrairement pourà établirla desnotion théorèmesd'« surexpression minimale obtenue en éliminant <math>x</math> entre les deux équations », la notion de résultant (qui nous servirasert à définir celle de discriminant), il est indispensable d'en donnera une définition précise. On peut prendre par exemple celle-ci, qui vérifie bienclairement la première des deux « définitions intuitives » ci-dessus :
{{Définition
| contenu =
Ligne 478 ⟶ 484 :
 
{{Remarque|contenu=
Lorsque <math>\alpha</math> ou <math>a_n</math> est nul, ce que nous avions appelé le « résultant R{{ind|1-n}} » '''n'est pas le résultant''' des deux polynômes <math>Q(X)=\alpha X+\beta</math> et <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math> (qui n'est même pas défini si <math>P</math> ou <math>Q</math> est nul). Cependant :
:si <math>\alpha\ne0</math> et <math>P\ne0</math>, <math>R_{1-n}=\alpha^{n-\deg P}\operatorname{Res}(Q,P)</math>.
}}