« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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{{Clr}}
== Exercice 4-1
Résoudre l'équation suivante :
▲:<math> x^3 - 3x^2 - 1 = 0 ~</math>
{{Solution
Ligne 109 ⟶ 107 :
<math> x_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} + j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+1~</math>
}}
}}
▲== Exercice 4-2 ==
Résoudre l'équation suivante :
▲:<math> 3x^3 + 9x^2 - 9x - 29 = 0 ~</math>
{{Solution
Ligne 214 ⟶ 207 :
<math> x_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} + j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}}-1~</math>
}}
}}
▲== Exercice 4-3 ==
Résoudre par la méthode de Cardan, les deux équations suivantes :
: α) <math> \frac{4x^2}{3} = \frac{\sqrt{3} - 6x}{2x - \sqrt{27}} ~</math>
: β) <math> x^3 - 5x^2 + x - 1 = 4x\sqrt{2} ~</math>
{{Solution
Ligne 287 ⟶ 274 :
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
:<math>
▲:<math> x_2 = x_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} = 1 - \sqrt{2} ~</math>
}}
En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes :▼
▲== Exercice 4-4 ==
▲En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes:
▲<math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0 ~</math>
montrer que :
:<math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \
▲<math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} = 1 ~</math>
{{Solution
Ligne 461 ⟶ 440 :
Chacune des deux méthodes précédentes nous donne une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Il est donc évident que les racines réelles données par les deux méthodes sont égales. Ce qui se traduit par :
<math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \
}}
== Exercice 4-5 ==
La méthode suivante est due à [[w:François Viète|François Viète]] (1540-1603).
#Montrer que pour un nombre (complexe) <math>k\ne0</math> donné, tout nombre <math>z</math> est de la forme <math>y-\frac ky</math> pour au moins un <math>y</math> (non nul).
#On suppose <math>p\ne0</math> et dans l'équation
#::<math>z^3+pz+q=0</math>,
#:on effectue un changement de variable de la forme :
#::<math>z=y-\frac ky</math>.
#:Quelle équation polynomiale en <math>y</math> obtient-on ?
#Pour quel choix du paramètre <math>k</math> cette équation est-elle bicarrée en <math>y^3</math> (c'est-à-dire de la forme <math>y^6+ry^3+s=0</math>) ? Préciser alors <math>r</math> et <math>s</math> et résoudre cette équation.
#Retrouver ainsi les formules de Cardan.
{{Solution|contenu=
#Pour <math>k,z</math> fixés, on a, pour tout <math>y\ne0</math> : <math>z=y-\frac ky\Leftrightarrow y^2-zy-k=0</math>, or l'équation <math>y^2-zy-k=0</math> a toujours au moins une solution <math>y</math> non nulle, sauf si <math>k=z=0</math>.
#<math>z^3+pz+q=0\Leftrightarrow(y^2-k)^3+p(y^2-k)y^2+qy^3=0\Leftrightarrow y^6+(p-3k)y^4+qy^3+(3k^2-pk)y^2-k^3=0</math>.
#<math>k=\frac p3,\;r=q,\;s=-k^3=-\frac{p^3}{27}</math>. On pose <math>w=y^3</math> et l'on résout donc <math>w^2+rw+s=0</math>. Soit <math>\delta</math> l'une des deux racines carrées de <math>r^2-4s=q^2+4\frac{p^3}{27}</math>. Les 2 solutions de l'équation en <math>w</math> sont : <math>w_0=\frac{-q+\delta}2,\;w_1=\frac{-q-\delta}2</math>. Les 6 solutions de l'équation en <math>y</math> sont donc <math>\mathrm j^lu_k</math> pour <math>k\in\{0,1\}</math> et <math>l\in\{0,1,2\}</math>, où <math>u_0</math> est l'une des trois racines cubiques de <math>w_0</math>, et <math>u_1=-\frac p{3u_0}</math> (racine cubique de <math>w_1=-\frac{p^3}{27w_0}</math>).
#Les 3 solutions de <math>z^3+pz+q=0</math> sont donc <math>z_l:=\mathrm j^lu_0-\frac p{3\mathrm j^lu_0}=\mathrm j^{-l}u_1-\frac p{3\mathrm j^{-l}u_1}=\mathrm j^lu_0+\mathrm j^{-l}v_0</math> pour <math>l\in\{0,1,2\}</math> (ou <math>l\in\{-1,0,1\}</math>), où <math>u_0</math> est l'une des trois une des trois racines cubiques de <math>\frac{-q+\delta}2</math> et <math>v_0:=u_1</math> est la racine cubique de <math>\frac{-q-\delta}2</math> telle que <math>u_0v_0=-\frac p3</math>, <math>\delta</math> étant l'une des deux racines carrées de <math>q^2+4\frac{p^3}{27}=-\frac\Delta{27}</math>.
}}
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