« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Factorisation du premier membre (12) : inutile que la racine soit rationnelle + preuve plus simple
Ligne 85 :
 
=== Factorisation du premier membre (12) ===
Si l'on connaît déjà une solution (rationnelle ou pas) d'une équation de degré 3, cela permet, pour trouver les autres, de se ramener à une équation de degré 2 :
Soit l'équation :
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
supposons que l’on ait réussit à lui trouver une racine simple sous la forme :
 
:<math> x = \frac{p}{q} ~</math>
 
On peut alors utiliser le théorème suivant :
{{Théorème
| contenu=
Si le polynôme de degré 3
Si l’équation :
:<math> axP(X)=aX^3 + bxbX^2 + cx cX+ d = 0 ~</math>
 
:admet une racine <math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~x_0</math>
 
admetalors uneil racinepeut se factoriser sous la forme :
:<math> P(xX) = (qxX-px_0)Q(xX) ~</math>
 
:avec <math> x = \frac{p}{q} ~Q(X)</math> polynôme du second degré.
 
elle peut alors se factoriser sous la forme :
 
:<math> (qx - p)Q(x) = 0 ~</math>
 
Avec Q(x) polynôme du second degré.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
 
:<math>\begin{align}P(X)&=P(X)-0\\
{{démonstration déroulante
&=P(X)-P(x_0)\\
|contenu=
&=aX^3+bX^2+cX+d-(ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d)\\
 
&=a(X^3-x_0^3)+b(X^2-x_0^2)+c(X-x_0)
Posons :
\end{align}</math>
 
donc (en utilisant des [[Expressions algébriques/Identités remarquables|identités remarquables classiques]])
:<math> P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
:<math> P(xX) = (qxX-px_0)Q(xX) ~</math>
 
avec
Effectuons la division euclidienne de P(x) par qx - p. Il existe un unique polynôme Q(x) et un unique polynôme R(x) tel que :
:<math>\begin{align}Q(X)&=a(X^2+x_0X+x_0^2)+b(X+x_0)+c\\
 
&=aX^2+(ax_0+b)X+a(x_0^2+bx_0+c.
:<math> P(x) = (qx-p)Q(x)+R(x) ~</math>
\end{align}</math>
 
Avec :
 
:<math> deg \left( R(x) \right) < deg(qx-p)=1 ~</math>
 
On en déduit que le degré de R(x) est 0 et par conséquent R(x) est une constante r.
 
On aura donc :
 
:<math> P(x) = (qx-p)Q(x)+r ~</math>
 
Calculons la constante r. Pour cela remplaçons x par p/q.
 
:<math> P \left( \frac{p}{q} \right) = (q \times \frac{p}{q}-p)Q(x)+r ~</math>
 
Soit :
 
:<math> 0 = 0 + r ~</math>
 
On obtient donc :
 
:<math> P(x) = (qx-p)Q(x) ~</math>
 
L'équation :
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
Se factorise donc sous la forme :
 
:<math> (qx-p)Q(x) = 0 ~</math>
 
De plus de la relation :
 
:<math> P(x) = (qx-p)Q(x) ~</math>
 
On déduit :
 
:<math> deg \left( P(x) \right) = deg (qx-p) + deg \left( Q(x) \right) ~</math>
 
Et donc :
 
:<math> deg \left( Q(x) \right) = deg \left( P(x) \right) - deg (qx-p) = 3 - 1 = 2 ~</math>
 
}}
 
 
Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :
:<math> Q(x )= \frac{p}{q} ~0</math>,
 
qui est du second degré, pour trouver les deux racines manquantes.
:<math> Q(x) = 0 ~</math>
 
qui est du second degré pour trouver les deux racines manquantes.
 
On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré.
 
 
Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine évidente dans l'équation à résoudre.
 
Nous verrons, dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.
 
== Équations dont les coefficients sont des nombres réels ==