« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Discriminant d’un polynôme de degré 3 : exemple |
→Factorisation du premier membre (12) : inutile que la racine soit rationnelle + preuve plus simple |
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=== Factorisation du premier membre (12) ===
Si l'on connaît déjà une solution (rationnelle ou pas) d'une équation de degré 3, cela permet, pour trouver les autres, de se ramener à une équation de degré 2 :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>▼
:<math> x = \frac{p}{q} ~</math>▼
{{Théorème
| contenu=
Si le polynôme de degré 3
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
:<math>\begin{align}P(X)&=P(X)-0\\
&=P(X)-P(x_0)\\
&=aX^3+bX^2+cX+d-(ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d)\\
&=a(X^3-x_0^3)+b(X^2-x_0^2)+c(X-x_0)
\end{align}</math>
donc (en utilisant des [[Expressions algébriques/Identités remarquables|identités remarquables classiques]])
avec
:<math>\begin{align}Q(X)&=a(X^2+x_0X+x_0^2)+b(X+x_0)+c\\
&=aX^2+(ax_0+b)X+a(x_0^2+bx_0+c.
\end{align}</math>
▲:<math> P(x) = (qx-p)Q(x) ~</math>
▲:<math> P(x) = (qx-p)Q(x) ~</math>
}}
Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :
qui est du second degré, pour trouver les deux racines manquantes.▼
▲qui est du second degré pour trouver les deux racines manquantes.
On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré.
Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine
Nous verrons, dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.
== Équations dont les coefficients sont des nombres réels ==
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