« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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Ligne 10 :
{{Clr}}
== Exercice 4-1 ==
Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes :
a) <math> x^3 - 3x^2 - 1=0</math> ;
b) <math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math>.
{{Solution|titre=Solution de la question a)
|contenu=
Nous avons une équation de la forme :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
avec :
:<math> a = 1 \qquad b = -3 \qquad c = 0 \qquad d = -1</math>.
Pour supprimer le monôme de degré 2, commençons par faire le changement de variable :
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z + 1</math>.
Nous obtenons :
:<math> (z + 1)^3 - 3(z + 1)^2 - 1 =0</math>.
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
:<math> z^3 - 3z - 3 =0</math>.
Posons :
:<math> z = u + v</math>.
On obtient :
:<math> (u + v)^3 - 3(u + v) - 3=0</math>,
qui peut s'écrire :
:<math> (u^3 + v^3) + 3(uv - 1)(u + v) - 3=0</math>.
Posons :
:<math> uv =1</math>.
On obtient :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = 3 \\ u^3v^3 = 1 \end{matrix}\right. </math>
''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
:<math> X^2 - 3X + 1=0</math>,
c'est-à-dire :
:<math>\{u^3,v^3\}=\left\{\frac{3+\sqrt5}2,\frac{3-\sqrt5}2\right\}</math>.
La paire <math>\{u,v\}</math> (vérifiant <math> uv = 1</math>) a donc trois valeurs possibles :
:<math>
:<math>\{u_1,v_1\}=\left\{\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math> ;
:<math>\{u_2,v_2\}=\left\{\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math>.
:<math>z_0=\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}</math> ;
:<math>z_1=\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}</math> ;
:<math>z_2=\overline{x_1}=\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}</math>.
En reportant ces trois valeurs de ''z'' dans la relation :
:<math> x = z + 1</math>,
nous en déduisons finalement :
{{Encadre
|contenu=
<math> x_0=\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math> ;
<math> x_1=\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math> ;
<math> x_2=\overline{x_1}=\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math>.
}}
}}
{{Solution|titre=Solution de la question b)
|contenu=
Soit à résoudre l'équation :
:<math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math>.
Posons <math>x = z + \frac13</math>. On obtient en remplaçant et en développant :
:<math>54z^3+90z+95 =0</math>.
Posons alors <math>z = u + v </math>. On obtient
:<math>54(u+v)^3+90(u+v)+ 95 = 0</math>,
qui s'écrit :
:<math>54(u^3+v^3)+(162uv+90)(u+v)+95=0</math>.
En imposant <math>162uv+90 = 0 </math>, c’est-à-dire <math>uv = -\frac59</math>, on a donc :
:<math>u^3+v^3 = -\frac{95}{54},\quad u^3v^3 = -\frac{125}{729} </math>.
<math>u^3</math> et <math>v^3</math> sont donc les racines de l'équation :
:<math>X^2 + \frac{95}{54}X -\frac{125}{729} = 0</math>,
c'est-à-dire :
:<math>\{u^3,v^3\}=\left\{\frac5{2\cdot 27},-\frac{50}{27}\right\}</math>.
Les trois paires <math>\{u,v\}</math> vérifiant <math>uv=-\frac59</math> sont donc :
:<math>\{u_0,v_0\}=\left\{\frac13\sqrt[3]{\frac52},-\frac13\sqrt[3]{50}\right\},\qquad\{u_1,v_1\}=\{\mathrm ju_0,\mathrm j^2v_0\},\qquad\{u_2,v_2\}=\{\mathrm j^2u_0,\mathrm jv_0\}</math>.
En reportant dans <math>z = u + v </math> on obtient :
<math>z_0=\frac13\sqrt[3]{\frac52}-\frac13\sqrt[3]{50},\qquad z_1=\frac{\mathrm j}3\sqrt[3]{\frac52}-\frac{\mathrm j^2}3\sqrt[3]{50},\qquad z_2=\frac{\mathrm j^2}3\sqrt[3]{\frac52}-\frac{\mathrm j}3\sqrt[3]{50}</math>
et en reportant dans <math>x = z + \frac13</math>, on obtient finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :
}}
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