Wikiversité

« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
→‎Exercice 4-1 : puis 1 équation moins simple, transférée de w:index.php?title=Méthode_de_Cardan&oldid=152046329 et améliorée)
→‎Exercice 4-1 : plus rigoureux + d'abord 1 équation plus simple, transférée de w:index.php?title=Méthode_de_Cardan&oldid=152046329 et améliorée
Ligne 12 :
Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes :
 
a)&nbsp; <math> x^3 - 3x^218x - 135 =0</math> ;
 
b)&nbsp; <math>6x x^3 -6x 3x^2+12x+7 - 1=0</math>. ;
 
c)&nbsp; <math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math>.
{{Solution|titre=Solution de la question a)▼
 
{{Solution|titre=Solution de la question a)|contenu=
Considérons l'équation <math>x^3 - 18x - 35 =0</math>. Le coefficient de <math>x^2</math> est nul donc nous n'effectuons pas de changement de variable préliminaire.
 
Posons :
:<math> x = zu + 1v</math>,.▼
 
On obtient :
:<math> (u + v)^3 -18(u + v) - 35=0</math>,
 
qui peut s'écrire :
:<math> (u^3 + v^3) + 3(uv -6)(u + v) - 35=0</math>.
 
En imposant
:<math> uv =6</math>,
on a donc :
:<math>u^3 + v^3 = 35,\qquad u^3v^3 =216</math>.
 
''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
:<math>X^2 - 35X + 216 = 0</math>,
dont les racines sont 27 et 8.
 
La paire <math>\{u,v\}</math> (vérifiant <math>uv=6</math>) a donc trois valeurs possibles :
:<math>\{u_0,v_0\}=\{3,2\}</math> ;
:<math>\{u_1,v_1\}=\{3\mathrm j,2\overline{\mathrm j}\}</math> ;
:<math>\{u_2,v_2\}=\{3\overline{\mathrm j},2\mathrm j\}</math>.
 
En reportant dans <math>x=u+v</math>, on obtient les trois solutions de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :
:<math>x_0=3+2=5,\qquad\{x_1,x_2\}=\left\{3\mathrm j+2\overline{\mathrm j},\;3\overline{\mathrm j}+2\mathrm j\right\}=\left\{\frac{-5+\mathrm i\sqrt3}2,\frac{-5-\mathrm i\sqrt3}2\right\}</math>.
}}▼
 
▲{{Solution|titre=Solution de la question ab)
|contenu=
Nous avons une équation de la forme :
Ligne 22 ⟶ 54 :
 
avec :
:<math> a = 1 ,\qquad b = -3 ,\qquad c = 0 ,\qquad d = -1</math>.
 
Pour supprimer le monôme de degré 2, commençons par faire le changement de variable :
:<math> x = z - \frac{ b}{3a} = z + 1</math>.
 
Nous obtenons :
:<math> (z + 1)^3 - 3(z + 1)^2 - 1 =0</math>.
 
En développant et en réduisantregroupant lespar termes semblablesdegrés, on obtient :
:<math> z^3 - 3z - 3 =0</math>.
 
Ligne 55 ⟶ 87 :
 
La paire <math>\{u,v\}</math> (vérifiant <math> uv = 1</math>) a donc trois valeurs possibles :
 
:<math>\{u_0,v_0\}=\left\{\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math> ;
:<math>\{u_1,v_1\}=\left\{\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\overline{\mathrm j^2}\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math> ;
:<math>\{u_2,v_2\}=\left\{\overline{\mathrm j^2}\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2},\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}\right\}</math>.
 
CommeEn reportant dans ''z'' = ''u'' + ''v'' puis ''x'' = ''z'' + 1, nous en déduisons finalement les trois valeurssolutions (une réelle et deux complexes conjuguées) pourde l'équation que l'z'on s'était donné de résoudre :
:<math>z_0x_0=\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1,\qquad\{x_1,x_2\}=\left\{\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1,\;\overline{\mathrm j}\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1\right\}</math> ;.
}}▼
:<math>z_1=\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}</math> ;
:<math>z_2=\overline{x_1}=\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}</math>.
 
En reportant ces trois valeurs de ''z'' dans la relation :
▲:<math> x = z + 1</math>,
 
nous en déduisons finalement :
 
{{Solution|titre=Solution de la question bc)▼
{{Encadre
|contenu=
<math> x_0=\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math> ;
 
<math> x_1=\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math> ;
 
<math> x_2=\overline{x_1}=\mathrm j^2\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt5}2}+\mathrm j\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt5}2}+1</math>.
▲}}
▲}}
▲{{Solution|titre=Solution de la question b)
|contenu=
Soit à résoudre l'équation :
Ligne 96 ⟶ 112 :
:<math>\{u^3,v^3\}=\left\{\frac5{2\cdot 27},-\frac{50}{27}\right\}</math>.
Les trois paires <math>\{u,v\}</math> vérifiant <math>uv=-\frac59</math> sont donc :
:<math>\{u_0,v_0\}=\left\{\frac13\sqrt[3]{\frac52},-\frac13\sqrt[3]{50}\right\},\qquad\{u_1,v_1\}=\{\mathrm ju_0,\overline{\mathrm j^2v_0}v_0\},\qquad\{u_2,v_2\}=\{\overline{\mathrm j^2u_0}u_0,\mathrm jv_0\}</math>.
 
En reportant dans <math>z = u + v </math> on obtient :
 
<math>z_0=\frac13\sqrt[3]{\frac52}-\frac13\sqrt[3]{50},\qquad z_1=\frac{\mathrm j}3\sqrt[3]{\frac52}-\frac{\mathrm j^2}3\sqrt[3]{50},\qquad z_2=\frac{\mathrm j^2}3\sqrt[3]{\frac52}-\frac{\mathrm j}3\sqrt[3]{50}</math>
 
et enEn reportant dans <math>z = u + v </math> puis <math>x = z + \frac13</math>, on obtient finalement les trois solutions (une réelle et deux complexes conjuguées) de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :
 
<math>x_0 = \frac13\left(\sqrt[3]{\frac52} - \sqrt[3]{50} + 1\right),\qquad \{x_1 ,x_2\}= \left\{\frac13\left(\mathrm j\sqrt[3]{\frac52} -\overline{\mathrm j^2}\sqrt[3]{50} + 1\right),\qquad x_2 = ;\frac13\left(\overline{\mathrm j^2}\sqrt[3]{\frac52} -\mathrm j\sqrt[3]{50} + 1\right)\right\}</math>.
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Équation_du_troisième_degré/Exercices/Résolution_par_la_méthode_de_Cardan »