« Fonction logarithme/Exercices/Croissances comparées » : différence entre les versions

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{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac x{\ln(x^2)}=\frac x{2\ln x}\to\frac12\times+\infty=+\infty</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}</math>
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\ln x}{x^2}=\frac1x\frac{\ln x}x=0^+\times0^+=0^+</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>y:=\sqrt x\to+\infty</math> donc <math>\frac{\ln x}{\sqrt x}=\frac{\ln(y^2)}y=2\frac{\ln y}y\to2\times0^+=0^+</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln x}</math>
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{x^2+3x+1}{\ln x}=>\frac{1+\frac3x+\frac1{x^2}}{\frac{\ln x}{x^2}}\to\frac1{0^+}=+\infty</math> .
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln x-x)</math>
Ligne 51 ⟶ 43 :
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to0^+</math>, <math>\frac1x+\ln x=\frac1x\left(1+x\ln x\right)\to+\infty\left(1+0\right)=+\infty</math>.
}}
 
==Exercice 3==
On se propose de démontrer que pour tout réel <math>\alpha>0</math>, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0</math>, de deux façons, dont la première s'appuie sur le cas particulier <math>\alpha=1</math> démontré en cours et la deuxième est directe.
#Déduire la propriété pour tout réel <math>\alpha>0</math> du cas particulier <math>\alpha=1</math>, par changement de variable.
#Pour <math>\beta,x>0</math>, on pose <math>f_\beta(x)=\frac{\ln x}{x^\beta}</math>.
#*Montrer que <math>f_\beta</math> est décroissante (strictement) sur une certaine demi-droite <math>\left]K,+\infty\right[</math>.
#*En déduire que <math>f_\beta</math> admet en <math>+\infty</math> une limite finie.
#*Conclure en appliquant cela à <math>\beta=\alpha/2</math>.
{{Solution|contenu=
#Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>y:=\sqrt x^\alpha\to+\infty</math> donc <math>\frac{\ln x}{\sqrt x^\alpha}=\frac{\ln\left(y^2{1/\alpha}\right)}y=2\frac1\alpha\frac{\ln y}y\to2to\frac1\alpha\times0^+=0^+</math>.
#
#*<math>f_\beta'(x)=x^{-\beta-1}\left(1-\beta\ln x\right)</math> est négatif pour <math>x</math> suffisamment grand, puisque <math>\lim_{x\to+\infty}\left(1-\beta\ln x\right)=-\infty</math>.
#*<math>f_\beta</math> est décroissante et minorée (par 0) sur <math>\left]K,+\infty\right[</math> donc admet en <math>+\infty</math> une limite finie <math>\ell</math>.
#*Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\ln x}{x^2\alpha}=\frac1xfrac1{x^{\fracalpha/2}}f_{\ln xalpha/2}(x=0^+)\times0^+to0\times\ell=0^+</math>.
}}