« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

Dans cette partie, on définit la notion de topologie sur un ensemble et d'espace topologique. On donne par ailleurs quelques exemples fondamentaux.

 

 

De la même manière qu'en [[Département:Algèbre|algèbre]] générale, les notions de [[Théorie des groupes|groupes]], d'[[Anneau (mathématiques)|anneaux]] et de [[Corps (mathématiques)|corps]] généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).

Un espace topologique est un couple <math>(X,\mathcal T)</math>, où <math>\mathcal T</math> est un ensemble de parties de <math>X</math>, vérifiant les trois propriétés :

*les ensembles <math>\varnothing</math> et <math>X</math> appartiennent à <math>\mathcal T</math> ;

 

<math>\mathcal T</math> s’appelle une topologie sur l'ensemble <math>X</math>. La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de parler de « l'espace topologique <math>X</math> » (au lieu de <math>(X,\mathcal T)</math>).

{{Wikipédia|Ouvert (topologie)|Ouvert}}

Les éléments de <math>\mathcal T</math> sont appelés les '''ouverts''' de cet espace.

}}

 

{{Attention|En topologie, le verbe « contenir » est employé en deux sens distincts, que le contexte permet de différencier : <math>V</math> ''contient'' un ouvert <math>O</math> qui ''contient'' <math>x</math> signifie : <math>\exists O\in\mathcal T\quad V\supset O\text{ et }O\ni x</math>, ou encore : <math>\exists O\in\mathcal T\quad x\in O\text{ et }O\subset V</math>.

}}

{{Proposition

| contenu =

On montrera [[../Exercices/Espaces topologiques|en exercice]] qu'il est possible de définir une topologie avec la donnée des voisinages, si cette donnée vérifie les quatre propriétés ci-dessus et une cinquième, plus compliquée.

 

| titre = Définition : Espace séparé

Un espace topologique est dit séparé si, dans cet espace, deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints.

}}

 

 

{{Exemple