« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac1\sqrt2frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.