« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

{{Solution|contenu=
#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}}
#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a : <math>1\le pr\le qp\le\infty\Rightarrow\|\cdot\|_q_p\le\|\cdot\|_p_r\le n^{\frac1pfrac1r-\frac1qfrac1p}\|\cdot\|_q_p</math>, la seconde inégalité se déduisant de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]].
#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>
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