« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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== Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes ==
#Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace <math>\R[X]</math> des polynômes réels :
#*<math>P\mapsto\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|\;\mathrm dt</math> ;
#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes.
#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>.
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== Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue ==
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) :
:<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>.
On pose <math>m:=\inf\left(\operatorname{Im}f\right)\in\left[-\infty,+\infty\right[</math> et <math>M:=\sup\left(\operatorname{Im}f\right)\in\left]-\infty,+\infty\right]</math> (donc <math>m\le L\le M</math>).
#Montrer que si <math>m<L</math>, alors la valeur <math>m</math> est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
#En déduire que (sans cette hypothèse) <math>f</math> admet un extremum.
#En déduire également que si <math>L</math> est finie, alors <math>f</math> est bornée.
(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité]].)
{{Solution|contenu=
#Soit <math>m'</math> strictement compris entre <math>m</math> et <math>L</math>. Puisque <math>m'<L</math>, on a <math>f(x)\ge m'</math> pour tout <math>x\in\R^n</math> de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel <math>R</math>. Puisque <math>m'>m</math>, <math>m</math> est aussi la borne inférieure de <math>f</math> restreinte à la boule fermée <math>\overline B(0,R)</math>. Puisque cette boule est compacte et que <math>f</math> est continue, cette borne inférieure est atteinte.
#Si <math>m<L</math> alors <math>f</math> a un minimum. De même, si <math>M>L</math> alors <math>f</math> a un maximum (en raisonnant sur <math>-f</math>). Enfin, si <math>m=M</math> alors <math>f</math> est constante.
#D'après la question 1, si <math>m<L</math> alors <math>m>-\infty</math>. Si <math>m=L</math> (supposée finie), on a aussi <math>m>-\infty</math>. Donc <math>f</math> est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant <math>f</math> par <math>-f</math>) que <math>f</math> est majorée.
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