« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

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→‎Exercice 4-1 : plus rigoureux + d'abord 1 équation plus simple, transférée de w:index.php?title=Méthode_de_Cardan&oldid=152046329 et améliorée
transfert (+mef+rectif énoncé) de l'exo 5-3
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{{Clr}}
== Exercice 4-1 ==
Résoudre par la méthode de Cardan les deuxquatre équations suivantes :
 
a)&nbsp; <math>x^3 - 18x - 35 =0</math> ;
 
b)&nbsp; <math> x^3 - 3x^2 - 1 =0</math> ;
 
c)&nbsp; <math>6x x^3 -6x 3x^2+12x+7 - 1=0</math>. ;
 
d)&nbsp; <math>6x^3-6x^2+12x+7=0</math> ;
 
{{Solution|titre=Solution de la question a)|contenu=
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}}
 
{{Solution|titre=Solution de la question b)
|contenu=
Posons
:<math>x = u + v</math>.
 
On obtient :
:<math>(u+v)^3-3(u+v)- 1=0</math>,
 
qui se simplifie sous la forme :
:<math> u^3+v^3+(3uv-3)(u+v)-1=0</math>.
 
Nous poserons alors :
:<math>3uv-3 =0</math>,
 
soit :
:<math>uv =1</math>.
 
On obtient le système :
:<math>\begin{cases}
u^3+v^3 = 1\\
u^3v^3 = 1.
\end{cases}</math>
 
''u''{{exp|3}} et ''v''{{exp|3}} sont alors les racines de l'équation :
 
:<math>X^2 - X + 1 = 0</math>
 
Les deux racines de cette équation sont :
:<math>\begin{cases}
u^3=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}2=\operatorname e^\frac{\mathrm i\pi}3\\
v^3=\frac{1-\mathrm i\sqrt3}2=\operatorname e^\frac{-\mathrm i\pi}3.
\end{cases}</math>
 
Compte tenu de la condition <math>uv = 1</math>, on en déduit :
:<math>
u =\mathrm j^k\operatorname e^\frac{\mathrm i\pi}9,\quad
v =\overline u,\quad k\in\{-1,0,1\}
</math>.
 
En reportant dans <math>x = u + v</math>, on obtient :
:<math>
x_k=\operatorname e^{\frac{\mathrm i\pi}9+k\frac{2\mathrm i\pi}3}+\operatorname e^{-\frac{\mathrm i\pi}9-k\frac{2\mathrm i\pi}3}=\operatorname e^{\frac{(1+6k)\mathrm i\pi}9}+\operatorname e^{-\frac{(1+6k)\mathrm i\pi}9}\quad k\in\{-1,0,1\}
</math>
 
En tenant compte des formules d'Euler, on obtient finalement :
:<math>
x_0= 2\cos\frac\pi9,\quad
x_1= 2\cos\frac{7\pi}9,\quad
x_{-1}= 2\cos\frac{5\pi}9
</math>.
}}
 
{{Solution|titre=Solution de la question c)
|contenu=
Nous avons une équation de la forme :
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}}
 
{{Solution|titre=Solution de la question cd)
|contenu=
Soit à résoudre l'équation :