« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

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m →‎Exercice 11 : complément
Ligne 197 :
:<math>|f(b)-f(a)|=\left|\operatorname e^{\mathrm i(b+a)/2}\times2\mathrm i\sin\frac{b-a}2\right|=2\left|\sin\frac{b-a}2\right|<2\left|\frac{b-a}2\right|=|b-a|</math>.
Il n'y a donc pas d'égalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles. Remarquons que pour <math>b-a\in2\pi\Z</math>, on a même <math>f(b)-f(a)=0</math>.
}}
 
==Exercice 12==
Soit <math>F:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto(\cos x-\sin y,\sin x-\cos y)</math>.
#Justifier que <math>F</math> est de classe C{{exp|1}}.
#Montrer que <math>\forall M\in\R^2\quad|\!|\!|\mathrm dF_M|\!|\!|\le\sqrt2</math>, où <math>|\!|\!|~|\!|\!|</math> désigne la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] à la norme euclidienne sur <math>\R^2</math>.
#En déduire que pour tout <math>M_0\in\R^2</math>, la suite <math>M</math> définie par <math>\forall n\in\N\quad M_{n+1}=\frac12F(M_n)</math> est convergente.
 
{{Solution|contenu=
#<math>F</math> est même de classe C{{exp|∞}} car ses deux composantes le sont, comme composées d'applications C{{exp|∞}}.
#La matrice jacobienne de <math>F</math> au point <math>(x,y)</math> est <math>\begin{pmatrix}-\sin x&-\cos y\\\cos x&\sin y\end{pmatrix}</math> donc <math>\|\mathrm dF_{(x,y)}(u,v)\|^2=\|(-u\sin x-v\cos y,u\cos x+v\sin y)\|^2=(-u\sin x-v\cos y)^2+(u\cos x+v\sin y)^2=u^2+v^2+2uv\sin(x+y)\le2(u^2+v^2)</math>.
#D'après l'inégalité des accroissements finis, <math>\frac12F</math> est <math>\frac\sqrt22</math>-lipschitzienne. On conclut grâce au [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|théorème du point fixe de Picard-Banach]].
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