Wikiversité

« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
→‎Exercice 5 : ajouté 1 question
Ligne 109 :
#:Or <math>\int_0^1\frac1{1+t^2}\;\mathrm dt=\left[\arctan t\right]_0^1=\frac\pi4</math> et <math>\int_0^1\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;\mathrm dt>0</math>, donc <math>S_n-\frac\pi4</math> est bien du signe de <math>(-1)^n</math>.
#D'après la question 1, <math>S_n\to S\in\R</math>. D'après la question 2, <math>S_{2j+1}<\frac\pi4<S_{2k}</math> donc (par passage à la limite des deux sous-suites) <math>S\le\frac\pi4\le S</math>. Par conséquent, <math>S=\frac\pi4</math>.
#pourPour <math>f</math> de classe C{{exp|''n''+1}}, <math>f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n\,\mathrm dt</math> donc ici,<br><math>\frac\pi4=\arctan1=\sum_{k=0}^{2N+2}\frac{\arctan^{(k)}(0)}{k!}+R_N=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{2n+1}+R_N</math>,<br>les coefficients <math>\frac{\arctan^{(k)}(0)}{k!}</math> ayant été trouvés en intégrant le d.l. en 0 de <math>\arctan'x=\frac1{1+x^2}</math>. Le reste,<br><math>R_N=\int_0^1\frac{\arctan^{(2N+3)}(t)}{(2N+2)!}(1-t)^{2N+2}\,\mathrm dt</math>,<br>serait pénible à calculer, mais notre exercice prouve que <math>0<(-1)^{N+1}R_N<\frac1{2N+3}</math>.
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Série_numérique/Exercices/Critère_d%27Abel »