« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 134 :
== Exercice 7==
#Soient <math>\phi=\left(\phi_1,\phi_2\right):\R^2\to\R^2</math> et <math>f:\R^2\to\R</math> deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> à l'aide de celles de <math>f</math> et de <math>\phi</math>.
##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).
##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\operatorname J_\phi(r,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}</math> donc<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)(-r\sin\theta)</math> et<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)\sin\theta+\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)r\cos\theta</math>.
##<math>\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi&\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi\end{pmatrix}\times\operatorname J_\phi</math> donc<br><math>\begin{align}\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi&\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi\end{pmatrix}(r,\theta)&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}(r,\theta)\times(\operatorname J_\phi)^{-1}(r,\theta)\\
&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}(r,\theta)\times\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\frac{\sin\theta}r&\frac{\cos\theta}r\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\cos\theta-\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\sin\theta}r&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\sin\theta+\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\cos\theta}r\end{pmatrix}.
\end{align}</math>
}}
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