« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m →‎Exercice 12 : -lien superflu : c'est dans le cours
→‎Exercice 7 : Compléments
Ligne 134 :
 
== Exercice 7==
#Soient <math>\phi=\left(\phi_1,\phi_2\right):\R^2\to\R^2</math> et <math>f:\R^2\to\R</math> deux fonctions différentiables. Exprimer les dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> à l'aide de celles de <math>f</math> et de <math>\phi</math>.
Soient :
*#Application à <math>\phi:\left]0,+\infty\right[\times\left]-\pi,\pi\right[\to\R^2\setminus\{\left(0,0\right)\},\;\left(r,\theta\right)=\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)</math>. Soit <math>f</math> une fonction différentiable sur <math>\R^2\setminus\{\left(0,0\right)\}</math> ;.
##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).
*<math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x} +y\frac{\partial f}{\partial y}</math> ;
##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.
*<math>\phi:\left]0,+\infty\right[\times\left]-\pi,\pi\right[\to\R^2\setminus\{\left(0,0\right)\}</math> l'application définie par :
*:<math>\phi\left(r,\theta\right)=\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)</math> ;
*<math>g=f\circ\phi</math>.
Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>g</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires l'[[w:Opérateur différentiel|opérateur différentiel]] <math>\Theta</math>).
 
{{Solution|contenu=
:#En développant <math>\left(\Theta_foperatorname J_{f\circ\phi\right}(s,t)=(J_f)_{\leftphi(rs,t)}\thetatimes(J_\rightphi)=r_{(s,t)}</math>, on trouve :<br><math>\cosfrac{\thetapartial(f\leftcirc\phi)}{\partial s}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}\circ(\phi(s,t))\rightfrac{\partial\phi_1}{\partial s}(s,t)+\leftfrac{\partial f}{\partial y}(r\phi(s,t))\thetafrac{\rightpartial\phi_2}{\partial s}(s,t)+r</math> et<br><math>\sinfrac{\thetapartial(f\leftcirc\phi)}{\partial t}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial yx}\circ(\phi(s,t))\rightfrac{\partial\phi_1}{\partial t}(s,t)+\leftfrac{\partial f}{\partial y}(r\phi(s,t))\thetafrac{\rightpartial\phi_2}{\partial t}(s,t)</math>.
#<math>\operatorname J_\phi(r,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}</math> donc<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)(-r\sin\theta)</math> et<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)=\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)\sin\theta+\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)r\cos\theta</math>.
or <math>\cos\theta</math> et <math>\sin\theta</math> sont les dérivées partielles par rapport à <math>r</math> des deux composantes de <math>\phi</math>. Donc
:##<math>\begin{align}\left(\Theta_f\circ\phi\right)\left(r,\theta\right)&=r\left[cos\left(theta\frac{\partial f}{\partial x}(r\circcos\phitheta,r\rightsin\theta)+r\timessin\theta\frac{\partial\phi_1 f}{\partial ry}+\left(r\cos\theta,r\sin\theta)=r\frac{\partial (f\circ\phi)}{\partial yr}(r,\theta)</math> et<br><math>\left(\Psi_f\circ\phi\right)\timesleft(r,\theta\right)=-r\sin\theta\frac{\partial\phi_2 f}{\partial rx}(r\right]cos\lefttheta,r\sin\theta)+r\cos\theta\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)=\rightfrac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)</math>.
##<math>\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi&\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi\end{pmatrix}\times\operatorname J_\phi</math> donc<br><math>\begin{align}\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi&\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi\end{pmatrix}(r,\theta)&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}(r,\theta)\times(\operatorname J_\phi)^{-1}(r,\theta)\\
&=r\frac{\partial g}{\partial r}\left(r,\theta\right).\end{align}</math>
&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}\end{pmatrix}(r,\theta)\times\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\frac{\sin\theta}r&\frac{\cos\theta}r\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\cos\theta-\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\sin\theta}r&\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)\sin\theta+\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial\theta}(r,\theta)\frac{\cos\theta}r\end{pmatrix}.
\end{align}</math>
}}