« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 185 :
#<math>\bar\partial f(x,y)=\left(2x-2x,-2y+2y\right)=(0,0)</math>
#Soient <math>f=(P,Q)</math> et <math>g=(R,S)</math>. Si <math>\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{\partial R}{\partial y}+\frac{\partial S}{\partial x}=0</math>, alors<br><math>\left(\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial S}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial y}\right)=\left(\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial y}\right)-\left(-\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial x}\right)=0</math> et<br><math>\left(\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial S}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=\left(\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial x}\right)+\left(-\frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial y}\right)=0</math>.
Ou plus simplement : dire que <math>\bar\partial f=0</math> revient à dire qu'en tout point, la matrice jacobienne de <math>f</math> est une matrice de [[similitude]] directe ou la matrice nulle, or l'ensemble de ces matrices est stable par produit.
Voir aussi : [[Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes]].
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