« Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré » : différence entre les versions
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→Résultant de deux polynômes : invariance par translation |
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{{Remarque|titre=Remarques|contenu=
*Le résultant est '''invariant par translation''' de la variable :
Lorsque <math>\alpha</math> ou <math>a_n</math> est nul, ce que nous avions appelé le « résultant R{{ind|1-n}} » '''n'est pas le résultant''' des deux polynômes <math>Q(X)=\alpha X+\beta</math> et <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math> (qui n'est même pas défini si <math>P</math> ou <math>Q</math> est nul). Cependant :▼
*:
▲*Lorsque <math>\alpha</math> ou <math>a_n</math> est nul, ce que nous avions appelé le « résultant R{{ind|1-n}} » '''n'est pas le résultant''' des deux polynômes <math>Q(X)=\alpha X+\beta</math> et <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0</math> (qui n'est même pas défini si <math>P</math> ou <math>Q</math> est nul). Cependant :
*:si <math>\alpha\ne0</math> et <math>P\ne0</math>, <math>R_{1-n}=\alpha^{n-\deg P}\operatorname{Res}(Q,P)</math>.
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