« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : décomposition en éléments simples : simplif+mef |
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Ligne 41 :
#<math>F_4\left(z\right)=\frac{2z^2+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^4}</math>. On pourra commencer par déterminer l'élément simple <math>\frac a{z+2}</math> relatif au pôle <math>-2</math>, puis la forme irréductible de la fraction <math>F_4\left(z\right)-\frac a{z+2}</math>.
{{Solution|titre=Solution des questions 1 à 3|contenu=
'''1.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^2+z+1}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)}</math>.
Ligne 47 :
:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.
:On a ensuite
:
:En posant <math>z=2</math> on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math> on trouve que <math>b = -3</math>.▼
:
▲:En posant <math>z=2</math>, on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math>, on trouve que <math>b = -3</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>a=1-c=-6</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = - \frac6{z-1} - \frac3{(z-1)^2} + \frac7{z-2}</math>.
'''2.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) = :
:En posant <math>z = 2</math>, on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.▼
:En
:
:
▲:En posant <math>z = 2</math> on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
'''3.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) = :
:En posant <math>z=1</math>, on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math>, on obtient <math>d=40</math>.▼
:En
▲:En posant <math>z=1</math> on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math> on obtient <math>d=40</math>.
:On obtient alors
En posant par exemple <math>z=0,-1,-2</math>, on obtient le système d’équations
:<math>\begin{cases}2f-2a-c&=-31\\
2f-a-2\frac c3&=-10\\
12f-4a-3c&=-17.
:On le résout et l'on trouve que <math>a=20</math> et <math>c=3</math>.▼
\end{cases}</math>
▲:On le résout et l'on trouve que <math>f=6</math>, <math>a=20</math> et <math>c=3</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = z + 6 + \frac{20}{z-1} + \frac6{(z-1)^2} + \frac3{z-2} + \frac{40}{(z-2)^2}</math>.
}}
{{Solution|titre=Solution de la question 4|contenu=
}}
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