« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions

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#<math>F_4\left(z\right)=\frac{2z^2+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^4}</math>. On pourra commencer par déterminer l'élément simple <math>\frac a{z+2}</math> relatif au pôle <math>-2</math>, puis la forme irréductible de la fraction <math>F_4\left(z\right)-\frac a{z+2}</math>.
 
{{Solution|titre=Solution des questions 1 à 3|contenu=
'''1.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^2+z+1}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)}</math>.
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:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.
:On a ensuite
:On a ensuite <math>F(z) (z-1)^2 (z-2) = \frac{a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b (z-1)^2 (z-2)}{(z-1)^2} + \frac{c (z-1)^2 (z-2)}{z-2}</math>, soit <math>z^2+z+1 = a(z-1)(z-2) + b(z-2) + c(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=2</math> on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math> on trouve que <math>b = -3</math>.
:Avec <math>cz^2+z+1 = 7</math>a(z-1)(z-2) et+ <math>b = (z-3</math>2) dans+ l’équation, on trouve que <math>a=c(z-61)^2</math>.
:En posant <math>z=2</math>, on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math>, on trouve que <math>b = -3</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>a=1-c=-6</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = - \frac6{z-1} - \frac3{(z-1)^2} + \frac7{z-2}</math>.
 
'''2.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) = T cz+d+ \frac a{z-1} + \frac b{z-2}</math>., soit
:On pose <math>P=z^3</math> et <math>Q=\left(cz+d\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right)+a\left(z-2\right)+b\left(z-1\right)</math>.
:En posant <math>z = 2</math>, on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:On remarque que <math>\deg (P) > \deg(Q)</math>.
:En effectuantprenant laun divsionéquivalent euclidiennequand <math>z\frac PQto\infty</math>, on obtient le quotient <math>z+3c=1</math>.
:DoncEn posant <math>T=z=0</math>, on obtient <math>d=\frac{2a+b}2=3</math>.
:On aD’où <math>F\left(z\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right) = T\left(z-1\right)\left(z-2\right) + \frac{a\left(z3 -1 \right)\left(z-2\right)}frac1{z-1} + \fracfrac8{b\left(z-1\right)\left(z-2\right)}{z-2}</math>, soit <math>z^3 = T(z-1)(z-2) + a(z-2) + b(z-1)</math>.
:En posant <math>z = 2</math> on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:D’où <math>F\left(z\right)=z + 3 - \frac{1}{z-1} + \frac{8}{z-2}</math>.
 
'''3.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) = T ez+f+ \frac a{z-1} + \frac b{(z-1)^2} + \frac c{z-2} + \frac d{(z-2)^2}</math>., soit
:On pose <math>P=z^5+3z+2</math> et <math>Q=\left(ez+f\right)\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2+a\left(z-1\right)\left(z-2\right)^2+b\left(z-2\right)^2+c\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)+d\left(z-1\right)^2</math>.
:En posant <math>z=1</math>, on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math>, on obtient <math>d=40</math>.
:On remarque que <math>\deg (P) > \deg(Q)</math>.
:En effectuantprenant laun divsionéquivalent euclidiennequand <math>z\frac PQto\infty</math>, on obtient le quotient <math>z+6e=1</math>.
:Donc <math>T=z+6</math>.
:On a <math>F\left(z\right)\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2 = T\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2 + \frac{a\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{z-1} + \frac{b\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{(z-1)^2} + \frac{c\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{z-2} + \frac{d\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}{(z-2)^2}</math>, soit <math>z^5+3z+2=a(z-1)(z-2)^2 + b(z-2)^2 + c(z-1)^2(z-2) + d(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=1</math> on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math> on obtient <math>d=40</math>.
:On obtient alors
::<math>\frac{z^5+3z+2=a}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2 }=z+f+ 6(\frac a{z-2)^21} + c\frac6{(z-1)^2(} + \frac c{z-2)} + \frac{40}{(z-12)^2}</math> soit.
En posant par exemple <math>z=0,-1,-2</math>, on obtient le système d’équations
::<math>23z^3-66z^2+71z-22=z^3\left(a+c\right)+z^2\left(46-4a-5c\right)+z\left(5a+8c-104\right)+\left(64-2a-4c\right)</math>.
:<math>\begin{cases}2f-2a-c&=-31\\
:On obtient alors le système d’équations suivant
2f-a-2\frac c3&=-10\\
::<math>\begin{bmatrix}64-2c-4a=-22\\ 5c+8a-104=71\\ 46-4c-5a=-66\\ c+a=23\end{bmatrix}</math>.
12f-4a-3c&=-17.
:On le résout et l'on trouve que <math>a=20</math> et <math>c=3</math>.
\end{cases}</math>
:On le résout et l'on trouve que <math>f=6</math>, <math>a=20</math> et <math>c=3</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = z + 6 + \frac{20}{z-1} + \frac6{(z-1)^2} + \frac3{z-2} + \frac{40}{(z-2)^2}</math>.
}}
{{Solution|titre=Solution de la question 4|contenu=
}}