« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : décomposition en éléments simples : simplif+mef |
→Exercice 1 : décomposition en éléments simples : -indication nuisible+solution |
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Ligne 39 :
#<math>F_2\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math> ;
#<math>F_3\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math> ;
#<math>F_4\left(z\right)=\frac{2z^2+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^4
{{Solution|contenu=
'''1.'''
:
:
:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.▼
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.▼
:<math>F(z) (z-1)^2 (z-2) = \frac{a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b (z-1)^2 (z-2)}{(z-1)^2} + \frac{c (z-1)^2 (z-2)}{z-2}</math>, soit▼
:En posant <math>z=2</math>, on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math>, on trouve que <math>b = -3</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>a=1-c=-6</math>
:
'''2.'''
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a▼
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.▼
▲:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
▲:<math>F\left(z\right) =cz+d+ \frac a{z-1} + \frac b{z-2}</math>, soit
:<math>z^3=\left(cz+d\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right)+a\left(z-2\right)+b\left(z-1\right)</math>.
:En posant <math>z = 2</math>, on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>c=1</math>.
:En posant <math>z=0</math>, on obtient <math>d=\frac{2a+b}2=3</math>
:
'''3.'''
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a▼
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math>.▼
▲:<math>
▲:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) =ez+f+ \frac a{z-1} + \frac b{(z-1)^2} + \frac c{z-2} + \frac d{(z-2)^2}</math>, soit▼
:<math>z^5+3z+2=\left(ez+f\right)\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2+a\left(z-1\right)\left(z-2\right)^2+b\left(z-2\right)^2+c\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)+d\left(z-1\right)^2</math>.
:En posant <math>z=1</math>, on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math>, on obtient <math>d=40</math>.
Ligne 78 ⟶ 70 :
12f-4a-3c&=-17.
\end{cases}</math>
:On le résout et l'on trouve que <math>f=6</math>, <math>a=20</math> et <math>c=3</math>
:
'''4.'''
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a
▲:<math>
▲:
:<math>bx^2+cx+d=\frac{-3x^3+2x-1}{x+1}=-3x^2+3x-1</math>, d'où
▲:
}}
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