« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions

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#<math>F_2\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math> ;
#<math>F_3\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math> ;
#<math>F_4\left(z\right)=\frac{2z^2+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^4}</math>. On pourra commencer par déterminer l'élément simple <math>\frac a{z+2}</math> relatif au pôle <math>-2</math>, puis la forme irréductible de la fraction <math>F_4\left(z\right)-\frac a{z+2}</math>.
{{Solution|contenu=
 
{{Solution|titre=Solution des questions 1 à 3|contenu=
'''1.'''
:OnD’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a <math>FF_1\left(z\right)=\frac a{z^2+z+-1}{ + \leftfrac b{(z-1\right)^2} + \left(frac c{z-2\right)}</math>., soit
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>Fz^2+z+1 = a\left(z-1\right) = T + \frac a{left(z-1} 2\right)+ \frac b{\left(z-12\right)^2} + \frac c{\left(z-1\right)^2}</math>.
:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.
:On a ensuite
:<math>F(z) (z-1)^2 (z-2) = \frac{a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b (z-1)^2 (z-2)}{(z-1)^2} + \frac{c (z-1)^2 (z-2)}{z-2}</math>, soit
:<math>z^2+z+1 = a(z-1)(z-2) + b(z-2) + c(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=2</math>, on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math>, on trouve que <math>b = -3</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>a=1-c=-6</math>., d'où
:D’où <math>FF_1\left(z\right) = - \frac6{z-1} - \frac3{(z-1)^2} + \frac7{z-2}</math>.
 
'''2.'''
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.
:<math>FF_2\left(z\right) =cz+d+ \frac a{z-1} + \frac b{z-2}</math>, soit
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) =cz+d+ \frac a{z-1} + \frac b{z-2}</math>, soit
:<math>z^3=\left(cz+d\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right)+a\left(z-2\right)+b\left(z-1\right)</math>.
:En posant <math>z = 2</math>, on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:En prenant un équivalent quand <math>z\to\infty</math>, on obtient <math>c=1</math>.
:En posant <math>z=0</math>, on obtient <math>d=\frac{2a+b}2=3</math>., d'où
:D’où <math>FF_2\left(z\right)=z + 3 - \frac1{z-1} + \frac8{z-2}</math>.
 
'''3.'''
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2}</math>.
:<math>FF_3\left(z) (z-1)^2 (z-2\right) =ez+f+ \frac{ a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b b{(z-1)^2} + (z-2)}\frac c{(z-1)^2} + \frac d{c (z-12)^2 (z-2)}{z-2}</math>, soit
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a
:<math>F\left(z\right) =ez+f+ \frac a{z-1} + \frac b{(z-1)^2} + \frac c{z-2} + \frac d{(z-2)^2}</math>, soit
:<math>z^5+3z+2=\left(ez+f\right)\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)^2+a\left(z-1\right)\left(z-2\right)^2+b\left(z-2\right)^2+c\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)+d\left(z-1\right)^2</math>.
:En posant <math>z=1</math>, on obtient <math>b=6</math> ; en posant <math>z=2</math>, on obtient <math>d=40</math>.
Ligne 78 ⟶ 70 :
12f-4a-3c&=-17.
\end{cases}</math>
:On le résout et l'on trouve que <math>f=6</math>, <math>a=20</math> et <math>c=3</math>., d'où
:D’où <math>FF_3\left(z\right) = z + 6 + \frac{20}{z-1} + \frac6{(z-1)^2} + \frac3{z-2} + \frac{40}{(z-2)^2}</math>.
 
}}
'''4.'''
{{Solution|titre=Solution de la question 4|contenu=
:On a <math>FF_4\left(z\right)=\frac{z^32z+1}{\left(z-1+2\right)\left(z-2+1\right)^3}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a
:<math>FF_4\left(z\right) =ez+f+ \frac a{z-1+2} + \frac b{(z-+1)^2} + \frac c{\left(z-+1\right)^2} + \frac d{\left(z-2+1\right)^23}</math>, soit (après changement de variable <math>x=z+1</math>) :
:On pose <math>P2x-1=zax^23+z+1</math> et <math>Q=\left(z-x+1\right)^2\left(z-bx^2+cx+d\right)</math>.
:OnEn aposant <math>\deg (P) < \deg(Q)x=-1</math>, doncon obtient <math>T a= 03</math>., puis
:<math>bx^2+cx+d=\frac{-3x^3+2x-1}{x+1}=-3x^2+3x-1</math>, d'où
:On a <math>FF_4\left(z\right)=\fracfrac3{z^5+3z+2}-\frac3{z+1}+\frac3{\left(z-+1\right)^2}-\frac1{\left(z-2+1\right)^23}</math>.
}}