« Approfondissement sur les suites numériques/Convergence » : différence entre les versions
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→Suite de Cauchy : déplacement de la partie sur les suites de Cauchy qui a plus sa place dans ce chapitre |
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Ligne 29 :
On en déduit la propriété de '''passage à la limite dans les inégalités''' :
{{Corollaire|contenu=→
Sous les mêmes hypothèses,
<div style="text-align: center;">si <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n\ge v_n</math> alors <math>U\ge V</math>.</div>}}
Ligne 65 :
*toute suite décroissante et minorée converge ;
*toute suite décroissante et non minorée tend vers <math>-\infty</math>.
== Suite de Cauchy ==
On dit qu'une suite numérique <math>(u_n)</math> est [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|de Cauchy]] si
:<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad\left|u_p-u_q\right|\le\varepsilon</math>,
c'est-à-dire si les termes de la suite <math> (u_n) </math> tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand <math> n </math> devient grand.
Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.
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