« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions
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Début du cours sur les suites équivalentes |
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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini.
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== Suites équivalentes ==
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes quand <math>n</math> devient très grand si elles sont à peu près égales, et ainsi elles auront le même comportement en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
{{Définition
|contenu =
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>,lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et tel que <math>u_n=v_n.w_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
;Remarque :
D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>u_n</math> nulle à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante très utile pour déterminer des équivalents (attention on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
{{Proposition
| contenu =
Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
<math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n \Longleftrightarrow \frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>
}}
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>.
{{Exemple
| contenu =
* Soit <math>(u_n)</math> une suite telle que <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} l</math> avec <math>l \neq 0</math> et <math> l\neq \pm \infty</math> alors <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\sim} l</math>.
* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math>.
alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}x^n</math>.
*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=sin(\frac{1}{n^2})</math> alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\frac{1}{n^2}</math> .
}}
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
{{Proposition
|contenu = La relation <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> est une relation d'équivalence.
Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> :
* <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math> (Réflexivité).
*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> alors <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>(Symétrie).
*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> alors <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> (Transitivité).
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
La démonstration est assez directe mais rédigeons la afin de s'habituer aux raisonnements.
Soit <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> trois suites.
*Pour la réflexivité :
Posons <math>\forall n \in \N,\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N, \quad u_n=\alpha_n.u_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>.
*Pour la symétrie :
Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in \N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>.
On a ainsi <math>\forall n>max(N_0,N),\quad v_n=\frac{1}{\alpha_n}.u_n</math> et <math>\frac{1}{\alpha_n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, et donc <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>.
*Pour la transitivité :
Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_1\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_1,\quad v_n=\beta_n.w_n</math>.
Et finalement, <math>\forall n>max(N_0,N_1),\quad u_n=\alpha_n.\beta_n.w_n</math> et <math>\alpha_n.\beta_n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, d'où <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
}}
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique ==
{{Théorème|contenu=
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