« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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(Début du cours sur les suites équivalentes)
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== Suites équivalentes ==
 
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand si elles sont à peu près égales », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
 
{{Définition
|contenu =
SoientOn <math>(u_n)</math>dit et <math>(v_n)</math>que deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n \underset{n \rightarrow to\infty}{\sim} v_n</math>, ou plus simplement <math>u_n\sim v_n</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et teltelle que <math>u_n=v_n.w_nv_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
 
 
;Remarques
;Remarque :
D'après:*Pour la définition, les seulesdes suites équivalentes à, la suite nulle sont les suitesnotation <math>u_n\sim v_n</math> nulleest ànon partirambiguë d'un(de certainmême rang. Ainsi, nous avonsque la caractérisationnotation suivante très utile<math>u_n\to\ell</math> pour déterminerla deslimite équivalentsd'une (attentionsuite), on a souvent tendancecontrairement à penser[[Fonctions qued'une cecivariable constitueréelle/Relations lade définitioncomparaison|pour des suites équivalentes)fonctions]].
:*D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>(u_n)</math> nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
 
{{Proposition
| contenu =
Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
:<math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n \Longleftrightarrow \frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1to1</math>.
 
<math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n \Longleftrightarrow \frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>
 
}}
 
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1to1</math>.
 
{{Exemple
| contenu =
* Soit <math>(u_n)\ell</math> uneun suiteréel telle''non quenul''. Une suite <math>(u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} l)</math> avecconverge vers <math>l \neq 0ell</math> si et <math>seulement l\neq \pm \infty</math> alorssi <math>u_n\underset {nsim\rightarrow \infty}{\sim} lell</math>.
* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math> et de coefficient dominant <math>\lambda</math>. Alors, <math>u_n\sim\lambda x^n</math>.
alors*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=\sin\undersetfrac1{n\rightarrow^2}</math>. \infty}{Alors, <math>u_n\sim}x^\frac1{n^2}</math> .
*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=sin(\frac{1}{n^2})</math> alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\frac{1}{n^2}</math> .
}}
 
 
{{Proposition
|contenu = La relation <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]].
Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> :
* <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math> (Réflexivitéréflexivité). ;
*Sisi <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> alors <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math> (Symétriesymétrie). ;
*Sisi <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> alors <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> (Transitivitétransitivité).
}}
 
 
{{Démonstration déroulante
|contenu=
La démonstration est assez directe mais rédigeons -la afin de s'nous habituer aux raisonnements.
Soit <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> trois suites.
*Pour la réflexivité :
*:Posons <math>\forall n \in \N,\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N, \quad u_n=\alpha_n.u_nalpha_nu_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>.
*Pour la symétrie :
*:Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>.
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_nalpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in \N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>.
*:On a ainsi <math>\forall n>\max(N_0,N),\quad v_n=\frac{1}frac1{\alpha_n}.u_n</math> et <math>\frac{1}frac1{\alpha_n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1to1</math>, et donc <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{v_n\sim} v_nu_n</math>.
*Pour la transitivité :
*:Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_nalpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1to1</math> et <math>\exists N_1\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_1,\quad v_n=\beta_n.w_nbeta_nw_n</math>.
*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\quad u_n=\alpha_n.\beta_n.w_nbeta_nw_n</math> et <math>\alpha_n.\beta_n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1to1</math>, d'où <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
}}
 
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique ==
{{Théorème|contenu=
SoitSoient <math>(u_n)</math> une suite strictement positive et <math>k</math> un réel.
 
* Si pour <math>n \ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le k</math> et si <math>k<1</math>, alors <math>\lim u_n=0</math>.
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k</math> et si <math>k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}}
 
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