« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

→‎Suites équivalentes : Suite du cours sur la relation d'équivalence des suites.
(→‎Suites équivalentes : Suite du cours sur la relation d'équivalence des suites.)
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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Notons que les notions abordées dans cette leçon (équivalence, domination, et suites négligeables) sont similaires à celles sur les [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison| fonctions]], aussi le lecteur peut avoir intérêt à lire ce cours en parallèle à celui sur les[[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison| fonctions]] pour voir les subtilités de ces notions.
 
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== Suites équivalentes ==
=== Premiers pas ===
 
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
 
 
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
 
{{Proposition
|contenu = La relation <math>u_n\sim v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]].
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nw_n</math>.
*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_n=\alpha_n\beta_nw_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n\to1</math>, d'où <math>u_n\sim w_n</math>.
}}
=== Opérations sur les suites équivalentes ===
L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :
{{Proposition
|titre =Proposition : Opérations sur les équivalents
| contenu =
Soient <math>(u_n), (v_n), (w_n)</math> trois suites numériques, et <math>\lambda, \alpha \in \R</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n \sim v_nv'n</math>.
En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim \lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_nv_n\neq 0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>\frac{1}{u_n}\sim \frac{1}{v_n}</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u_n, v_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.
:Supposons que <math>u_n\sim u'_n</math> et <math>v_n\sim v'_n</math>.
:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nu'_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nv'_n</math>.
:Alors, on a <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_nu'_n=\alpha_n\beta_nv_nv'_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n \to1</math>.
}}
;Remarques
:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:Par exemple, on a <math>n^3+1 \sim n^3</math> et <math>-n^3 \sim -n^3</math> mais <math>n^3+1-n^3=1 \nsim 0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné pour <math>f=ln</math>, et <math>\frac{1}{n}+1\sim 1</math> mais <math>\ln(\frac{1}{n}+1)\nsim \ln(1)=0</math>.
 
Voyons maintenant des équivalents qui servirons de référence.
{{Proposition
|titre =Proposition : Equivalents de référence
| contenu =
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique telle que <math>u_n \to 0</math>, alors :
*<math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>
*<math>\exp(u_n)-1\sim u_n</math>
*<math>\tan(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sin(u_n)\sim u_n</math>
*<math>\sqrt{1+u_n}-1\sim \frac{1}{2}u_n</math>
*<math>(1+u_n)^{\alpha}-1\sim \alpha u_n (\alpha \in \R)</math>
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.
Comme <math>u_n \to0</math>, alors <math>u_n \neq 0</math> pour <math>n</math> assez grand.
On a alors <math>\frac{\ln(1+u_n)}{u_n} \to1</math>, car le taux d'accroissement <math>\frac{\ln(1+h)}{h}\to1</math> quand <math>h\to0</math>, d'où <math>\ln(1+u_n)\sim u_n</math>.
}}
Donnons des exemples de calcul d'équivalent en utilisant ces équivalents de référence :
{{Exemple
|contenu =
*Déterminer un équivalent de <math>u_n=\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})</math>.
*:On a <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})=\ln(1+(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1))</math>.
*:Or,<math>\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2}-1=\frac{n^2+n+3}{n^3-n^2}\sim \frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}\to0</math>.
*:D'où, <math>\ln(\frac{n^3+n+3}{n^3-n^2})\sim \frac{1}{n}</math>.
*Déterminer un équivalent de <math>u_n=\sqrt{1+\sqrt{n}}</math>.
*:On a <math>u_n^2=1+\sqrt{n} \sim \sqrt{n}</math>, donc <math>u_n=(u_n^2)^{\frac{1}{2}}\sim (\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}=n^{\frac{1}{4}}</math>.
}}
=== Applications ===
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur la propriété suivante :
{{Proposition
|contenu=
Soient <math>(u_n), (v_n)</math> deux suites telles que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors :
* Si <math>(v_n)</math> admet une limite <math>l</math> alors <math>(u_n)</math> admet la même limite.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors<math>(u_n)</math> est bornée aussi.
* Si <math>(v_n)\neq 0</math> à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
* Si <math>(v_n)> 0</math> (ou <math><0</math>) à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>.
* Si <math>(v_n)</math> converge vers <math>l</math>, alors pour <math>n>N_0</math> on a <math>u_n=\alpha_nv_n</math> et donc, par produit des limites, <math>v_n \to l</math>.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>\exists M\in \R \quad |v_n|<M</math>, et donc pour <math>n>N_0 \quad |u_n|<|\alpha_n|M</math>. Or, <math>\alpha_n\to1</math> donc <math>(\alpha_n)</math> est bornée, et <math>(u_n)</math> également.
*Les deux dernières propriétés se démontrent à partir du même raisonnement.
}}
 
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