« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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=== Applications ===
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur lales propriétépropriétés suivantesuivantes :
{{Proposition
|contenu=
Soient <math>(u_n), (v_n)</math> deux suites telles que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors :
* Si <math>(v_n)</math> admet une limite <math>l\ell</math> (finie ou infinie) alors <math>(u_n)</math> admet la même limite.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(u_n)</math> est bornée aussi.
* Si <math>(v_n)\neq 0</math> est non nulle à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
* Si <math>(v_n)> 0</math> est strictement positive (ou <math><0</math>strictement négative) à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1\to1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad 0<\alpha_n>0<2</math>.
* Si <math>(v_n)\to\ell</math> convergealors, verspar produit des limites, <math>l\alpha_n v_n\to\ell</math>, alorsdonc pour(puisque <math>\forall n>N_0</math>\quad on a <math>u_n=\alpha_nv_n</math> et donc, par produit des limites,) <math>v_nu_n \to l\ell</math>.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(\exists M\in \R \quadalpha_n |v_n|<M)</math>, etégalement donc(comme pourproduit <math>n>N_0de \quaddeux |u_n|<|\alpha_n|M</math>.suites Or, <math>\alpha_n\to1</math>bornées) donc <math>(\alpha_n)</math> est bornée, et <math>(u_n)</math> égalementaussi.
*Les deux dernières propriétés se démontrent à partir dude même raisonnement.
}}
 
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