« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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On dit que deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n\underset{n\to\infty}\sim v_n</math>, ou plus simplement <math>u_n\sim v_n</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
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;Remarques
:*Pour des suites équivalentes, la notation <math>u_n\sim v_n</math> est non ambiguë (de même que la notation <math>u_n\to\ell</math> pour la limite d'une suite), contrairement à la notation <math>f\sim g</math> [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|pour des fonctions]].
:*D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>(u_n)</math> nulles à partir d'un certain rang. AinsiDe plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
 
{{Proposition
:<math>u_n\sim v_n\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}\to1</math>.
}}
;Remarque
* :Si <math>u_n\sim v_n</math> et si <math>(v_n)</math> est non nulle à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> est donc, elle aussi, non nulle à partir d'un certain rang.
 
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n}\to1</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>u'_n\sim v'_n</math> alors <math>u_nu'_n\sim v_nv'n</math>.
*:En particulier, si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>\lambda u_n\sim\lambda v_n</math> et <math>u_nw_n\sim v_nw_n</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\ne0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n\ne0</math> pour <math>n</math> assez grand et <math>\frac1{u_n}\sim\frac1{v_n}</math>.
*Si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand, alors <math>u_n>0</math> pour <math>n</math> assez grand et <math>u_n^\alpha\sim v_n^\alpha</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
* Si <math>(v_n)</math> admet une limite <math>\ell</math> (finie ou infinie) alors <math>(u_n)</math> admet la même limite.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(u_n)</math> aussi.
* Si <math>(v_n)</math> est non nulle à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
* Si <math>(v_n)</math> est strictement positive (ou strictement négative) à partir d'un certain rang, alors <math>(u_n)</math> aussi.
}}
* Si <math>v_n\to\ell</math> alors, par produit des limites, <math>\alpha_n v_n\to\ell</math> donc (puisque <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>) <math>u_n \to\ell</math>.
* Si <math>(v_n)</math> est bornée alors <math>(\alpha_n v_n)</math> également (comme produit de deux suites bornées) donc <math>(u_n)</math> aussi.
*LesLa deuxdernière dernières propriétéspropriété se démontrentdémontre de même.
}}
 
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